Algebra

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

• Das Potenzieren entspricht einer mehrfachen Multiplikation. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.
• Das Ziehen von Wurzeln stellt die Umkehrung vom Potenzieren dar. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x die Basis einer Potenz ist.
• Das Logarithmieren ist eine weitere Möglichkeit einen Potenzterm nach x aufzulösen. Es ermöglicht es x zu berechnen, wenn x der Exponent einer Potenz ist.

Lineare Gleichung mit einer Variablen

Eine Gleichung in der genau eine Variable und diese nur in der ersten Potenz vorkommt, heißt lineare Gleichung oder Gleichung ersten Grades mit einer Variablen. Lineare Gleichungen in einer Variablen sind eindeutig lösbar, d.h. sie haben genau eine Lösung. Diese Lösung findet man, indem man die Variable explizit macht.

Beispiel:
\(a \cdot x + b = 0 \to x = - \dfrac{b}{a}\)

Allgemeine Form einer linearen Gleichung

\(a \cdot x + b = c\)

Normalform einer Gleichung

Bei der Normalform einer Gleichung ist der Koeffizient vor der Variablen mit dem höchsten Grad eine "1" und rechts vom Gleichheitszeichen steht eine Null.

\(x + d = 0\)

Unterschied Normalform und Nullform

Bei der Nullform steht rechts vom Rechenzeichen eine Null

\(a \cdot x + b = 0\)

Bei der Normalform ist der Koeffizient vor der Variable mit dem höchsten Grad eine 1

\(x + b = c\)

Üblicher Weise bring man Gleichungen zuerst in die Nullform und anschließend in die Normalform, bei der die Null rechts vom Rechenzeichen erhalten bleibt. Man kann die allgemeine Form durch Umformung etwa wie folgt zuerst in die Nullform und anschließend in die Normalform umwandeln:

\(\eqalign{ & a \cdot x + b = c\,\,\,\,\,\left| { - c} \right. \cr & a \cdot x + \left( {b - c} \right) = 0\,\,\,\,\,\left| {:a} \right. \cr & x + \frac{{b - c}}{a} = 0 \cr} \)

Zahlensysteme

In dieser Mikro-Lerneinheit lernst du die Entwicklung der Zahlensysteme von den ersten Strichlisten in der Jungsteinzeit, über das sumerische Stellenwertsystem, die geometrisch geprägte alt-griechische Mathematik, gewisse Rückschritte beim römischen Zahlensystem, welches kein Stellenwertsystem ist, sowie die arabische Ziffernschreibweise, welche die Entwicklung der modernen Mathematik ermöglichte. Wir gehen auf die Bedeutung von Zahl und Ziffer ein. Besprechen das heutige Dezimalsystem als Stellenwertsystem und zeigen die Visualisierung von Zahlen am Zahlenstrahl, der Zahlengerade und in der gaußschen Zahlenebene. Abschließend gehen wir kurz auf die für Menschen unlesbaren, weil auf Maschinenlesbarkeit optimierten, Zahlencodes aus dem Alltag ein.

Erste Strichlisten gehen auf die Jungsteinzeit zurück. Kerben, geritzt in Holz oder Knochen, die 20.000 Jahre und älter sind und aus Afrika stammen, stellen wohl die ersten mathematischen Aufzeichnungen in Form von Strichlisten dar. Vermutlich hat man mit ihnen versucht, Informationen dauerhaft festzuhalten.

Aus den Strichlisten entwickelten sich Zahlensysteme. Zahlensystemen unterscheidet man in solche ohne bzw. in solche mit Stellenwertsystem.

• Das römische Zahlensystem hat kein Stellenwertsystem, da der Zahlenwert durch Addition oder Subtraktion der Ziffern ermittelt wird. Es ist sehr unpraktisch mit dem römischen Zahlensystem zu rechnen.
• Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, in dem der Wert einer Ziffer von der Position in einer Zahl abhängt. Ein Stellenwertsystem ermöglicht eine leistungsfähige Mathematik. 3000 Jahre vor den Römern hatten die Sumerer und dann die Babylonier bereits ein Stellenwertsystem zur Basis 60, heute rechnen wir mit einen Stellenwertsystem zur Basis 10, dem Dezimalsystem. Die Unterteilung bei der Zeitmessung, in der 1 Stunde 60 Minuten und 1 Minute 60 Sekunden hat und die Unterteilung bei Winkeln, wo ein Vollkreis 360 Grad und ein Grad 60 Minuten und 1 Minute 60 Sekunden hat, zeigen, dass 60-er Systeme heute noch eine Bedeutung haben.

Sumerisches Zahlensystem

3500 v.Chr. waren es die Sumerer, eine frühe Hochkultur im heutigen Iran und Irak, welche die Strichlisten zu einem ersten Zahlensystem weiterentwickelten. Dieses Zahlensystem wurde später von den Babyloniern übernommen. In ihrer Keilschrift einwickelten sie ein Sexagesimalsystem, auch Hexagesimalsystem genannt. Es handelt sich dabei um ein Stellenwertsystem zur Basis 60, dh es gibt 60 verschiedene Ziffern. Sie kamen dabei mit nur 2 Symbolen aus, die innerhalb einer Stelle hintereinander gesetzt wurden:

• Ein Symbol "I" für die Zahl 1, welches bis zu 9 mal wiederholt wurde.  8=IIIIIIII  Achtung: Es handelt sich um nur 1 Stelle
• Ein Symbol "<" für die Zahl 10, welches bis zu 5 mal wiederholt wurde.  38=<<<IIIIIIII  Achtung: Es handelt sich um nur 1 Stelle

Damit konnte man mit einer Stelle die Zahlen 1 bis 59 darstellen. Erst ab der Zahl 60 wurde eine 2. Stelle und ab der Zahl 3600 wurde eine 3. Stelle verwendet.

• Die 3 Stellen der Zahl 6913 sehen also wie folgt aus: 6913=(1*3600)+(55*60)+(1*13) → I    <<<<<IIIII     <III   Achtung: Es handelt sich um nur 3 Stellen

Griechische Mathematik

Die alten Griechen verwendeten in der Mathematik vor allem geometrische Methoden und Brüche, als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Pythagoras lebte etwa 600 v. Chr. und war Mathematiker und Philosoph. Hippasos entdeckte die irrationalen Zahlen, also Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen. 300 Jahre nach Pythagoras schuf Euclid, mit dem Lehrbuch "Elemente", das erste grundlegende Lehrbuch der Geometrie und legte damit den Grundstein für geometrische Formen, Axiome und Beweise, wobei die Beweise damals speziell auf geometrischen Beweisen basierten. Pythagoras formulierte das nach ihm benannte Theorem über rechtwinkelige Dreiecke, Euclid formalisierte und bewies es, wodurch aus dem Theorem ein Lehrsatz wurde. Archimedes approximierte um 240 v. Chr. mit Hilfe geometrischer Methoden die Kreiszahl Pi durch Approximation durch ein 96-Eck auf das Intervall \(\left[ {3\dfrac{{10}}{{71}} < \,\,\,\pi < \,\,3\dfrac{{10}}{{70}}} \right] \approx \left[ {3,1408 < 3,14159265; < 3,1428} \right]\) genau und zeigte, dass man die Genauigkeit durch eine Annäherung mit Polygonen mit mehr Ecken steigern könne.

Griechisches Alphabet

Bedeutsam in der modernen Mathematik ist das griechische Alphabet. Das griechische Alphabet hat sich im Laufe der Jahrtausende nicht verändert. Das moderne griechische Alphabet enthält zusätzliche Buchstaben wie Eta, Theta, Phi und Chi, die es im antiken griechischen Alphabet nicht gegeben hat. Natürlich wurde und wird das griechische Alphabet von den Griechen zum Schreiben verwendet, während es in den modernen Naturwissenschaften als mathematische Variable oder als Bezeichner einer physikalischen Größe Verwendung findet. 

Beispiele für den Einsatz von griechischen Buchstaben als Variable

• Alpha, Beta und Gamma werden bevorzugt für Winkel im Dreieck verwendet
• Delta wird oft für Differenzen, Abweichungen oder Änderungen verwendet
• Epsilon wird für kleine Abstände verwendet
• Lambda wird als Skalar in der Vektorrechnung verwendet

Beispiel für den Einsatz von griechischen Buchstaben als Konstante

• Pi steht für das Verhältnis von Kreisumfang und Kreisdurchmesser

Beispiel für den Einsatz von griechischen Buchstaben als physikalische Größe

• Psi wird in der Quantenmechanik für die Wellenfunktion eines Teilchens verwendet
• Omega steht für die Kreisfrequenz bei periodischen Schwingungen

Römische Zahlen

Die römischen Zahlen stellen ein altes Zahlensystem dar. Es stammt aus der Zeit des Römischen Reichs am Anfang unserer Zeitrechnung und war in Europa über 1000 Jahre in Verwendung. Die in den römischen Zahlen nicht enthaltene Zahl "0" erreichte Zentraleuropa erst im 12. Jahrhundert. In Indien war die Null schon 300 Jahre v. Chr. bekannt. Obwohl es sich um ein Zahlensystem handelt, werden Buchstaben des lateinischen Alphabets verwendet. 

Im Unterschied zu den uns heute vertrauten Zahlensystemen (Binär- Hexadezimal-, Dezimalsystem) gibt es bei römischen Zahlen keinen Stellenwert, da der Zahlenwert durch Addition oder Subtraktion der Ziffern ermittelt wird. D.h. die Wertigkeit einer Ziffer hängt nicht von ihrer Position in der Zahl ab. (z.B.: 6=VI; 7=VII; 8=VIII; Das I ist also immer 1 wert, egal an welcher Stelle in der Zahl es steht).  In Römischen Zahlen sind die uns vertrauten 10 Ziffern (0 bis 9) durch 7 Buchstaben repräsentiert (I, V, X, L, C, D, M), wobei es keine Null gibt.

Römische Zahlen werden von links nach rechts gelesen und die Werte der Ziffern werden addiert, es sei denn, ein kleinerer Wert steht vor einem größeren Wert, dann wird subtrahiert. Eine römische Zahl wird gebildet, indem man die römischen Ziffern beginnend mit der größten Ziffer in absteigender Wertigkeit hintereinander schreibt. Die Summe der Ziffern entspricht dann der Zahl. Damit nicht mehr als 3 idente Ziffern hinter einander angeschrieben werden, wird in diesen Fällen eine Ziffer mit geringerem Wert vor einer Ziffer mit höherem Wert geschrieben (Falsch: 9=VIIII; Richtig: 9=IX) . Durch diese Subtraktionsregel genannte Einschränkung, kann man mit römischen Ziffern nur die Menge der natürlichen Zahlen zwischen 1 bis 3999 darstellen (MMIM oder MMMCMXCIX). 

Mit römischen Zahlen kann man leider nicht einfach und praktisch schriftlich rechnen, weshalb die Römer als Rechenhilfe für Addition und Subtraktion den Abakus verwendet haben. Der Abakus besteht aus einem Rahmen mit Stäben und Kugeln. Erst durch die indische bzw. arabische Ziffernschreibweise und dem Dezimalsystem wurde schriftliches Rechnen einfach möglich. Damit verschwanden die römischen Zahlen und werden heute meist nur aus ästhetischen Gründen, etwa auf Ziffernblätter, verwendet 

Arabische Ziffernschreibweise und die Entwicklung der modernen Mathematik

Die arabische Ziffernschreibweise war eine Weiterentwicklung der Zahlensysteme auf Babylonien (3000 v. Chr.) und Indien (500 v. Chr.) . Aus Indien stammte die Verwendung von "0" und die heutige Schreibweise der Ziffern 1,2,3, ... . Das indische Wissen verbreitete sich über die Seidenstraße nach Persien und Arabien. Im 10. und 11. Jahrhundert wurden als Folge der Übersetzung arabischer mathematischer Werke, die arabische Ziffernschreibweise auch in Europa bekannt. Entscheidend für deren Einführung in S-Europa war 1202 das Werk "Liber Abaci - Das Buch der Abakusrechnung" des italienischen Mathematikers Fibonacci. Europaweit hat sich die arabische Ziffernschreibweise erst im 15. Jahrhundert durchgesetzt. Durch die Ablösung der römischen Zahlen und durch die Verwendung der Ziffer "0" wurde eine leistungsfähige Mathematik erst möglich.

Der Verbreitung der Mathematik in Europa wurde durch die Erfindung des Buchdrucks um 1440 durch Johannes Gutenberg Vorschub geleistet. Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibnitz revolutionierten die Mathematik durch die Entdeckung der Infinitesimalrechnung, bei der mit unendlich kleinen Abweichungen gerechnet wurden und welche die heutige Differential- und Integralrechnung umfasst und somit die Grundlage der Analysis bilden. Im 18. Jahrhundert trug Euler maßgeblich zur Entwicklung der Zahlentheorie bei, während im 19. Jahrhundert Carl Friedrich Gauß,  Janos Bolyai und Nikolai Lobatschewski die Arbeiten von Euclid über die flache Geometrie durch die nichteuklidische Geometrie erweiterten,in dem sie das Parallelenaxiom negierten.

Zahl bzw. Ziffer

Jede natürliche Zahl besteht aus einer oder mehreren Ziffern. Jede Ziffer in einer Zahl hat einen Ziffernwert und einen Stellenwert, der vom jeweiligen Zahlensystem abhängt.
Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Stellenwert

Die additive Wertigkeit einer Ziffer hängt von ihrer Position in der Zahl ab. Uns ist das Zehnersystem besonders vertraut, aber gebräuchlich sind auch das Binärsystem oder das Hexadezimalsystem

Beispiel:
2.345,67 im Dezimalsystem
2 =Tausenderstelle, 3=Hunderterstelle, 4=Zehnerstelle,5= Einerstelle, 6=erste Nachkommastelle (=Zehntel), 7=zweite Nachkommastelle (=Hundertstel)

Stellenwertsysteme

Stellenwertsystem legen fest, welche Ziffernwerte eine Ziffer in einer Zahl annehmen darf und legen deren Stellenwert fest. Das gängigste Stellenwertsystem ist das Dezimalsystem.

Zahlenstrahl

Der Zahlenstrahl ist eine von Null ausgehende Halbgerade, die der Veranschaulichung der natürlichen Zahlen dient, wobei jeder Zahl ein Punkt auf dem Zahlenstrahl zugeordnet wird.

• Vorgänger: Von zwei natürlichen Zahlen steht die kleinere Zahl weiter links als die größere Zahl. Jede Zahl hat einen um eins kleineren Vorgänger ( mit Ausnahme von Null)
• Nachfolger: Von zwei natürlichen Zahlen steht die größere Zahl weiter rechst als die kleinere Zahl. Jede Zahl hat einen um eins größeren Nachfolger.

Zahlengerade

Die Zahlengerade dient der Veranschaulichung reeller Zahlen, indem sie jeder reellen Zahl einen Punkt auf der Zahlengeraden zuordnet. Die Zahlengerade erweitert den Zahlenstrahl nach links und somit um die negativen Zahlen.

Gaußsche Zahlenebene

Die Gaußsche Zahlenebene dient der Veranschaulichung der komplexen Zahlen, wobei jeder Zahl ein Punkt in der Gaußschen Zahlenebene (Reale Achse und Imaginäre Achse) zugeordnet ist.

Bild

Darstellung von Zahlen als Tabelle

Eine Tabelle ist eine systematische Darstellung von Texten und Daten, aufgeteilt in Zeilen und Spalten.

Beispiel

Quelle: Statistik Austria, KFZ-Bestand 19.02.2020

Maschinenlesbare Darstellungen von Zahlencodes aus dem Alltag

Maschinenlesbare Darstellungen, von GS1 (Global Standards 1) normiert

• 1-Dimensionale Codes sind als Strichcode, der in 1 Richtung beschrieben ist, ausgeführt
  • EAN (European Article Number) verschlüsselt eine (8, besser) 13-stellige Artikelnummer GTIN (Global Trade Item Number), die sich aus Ländercode, Unternehmenscode und Artikelnummer sowie Prüfziffer zusammensetzt.
  • UPC-A (Universal Product Code, speziell für USA) verschlüsselt eine 12-stellige Artikelnummer GTIN (Global Trade Item Nuber).
  • DataBar verschlüsselt als verlängerter EAN neben der GTIN auch zusätzliche Angaben, wie Stückzahl, Gewicht, Preis usw. und eignet sich speziell für Handelseinheiten

• 2-Dimensionale Codes sind als Matrixcode, der in 2 Richtungen beschrieben ist, ausgeführt
  • QR-Code (Quick Response) für Marketing oder zur Registrierung bei Events, arbeitet mit URI, etwa einer URL, welche auf eine Webseite verweist, für 7.089 Zahlen oder 4.296 alphanumerischen Zeichen. Nur vom Herausgeber interpretierbar. Erfordert einen kamerabasierten Scanner, für Laserscanner nicht lesbar, 3 L-förmig angeordnete Quadrate an den Ecken markieren die Leserichtung
  • DataMatrix Code Arbeitet mit Element Strings, bestehend aus genormten Identifikationsnummern (für Gewicht, Ablaufdatum, zu verkaufen bis Datum,..) und den zugehörigen Informationen. Die Anzahl der kodierbaren Zeichen hängt von der Größe vom Viereck ab und liegt bei einer Matrixgröße von 132x132 bei 3.116 Zahlen oder 2.335 alphanumerischen Zeichen. Die Dekodierung ist standardisiert. Erfordert einen kamerabsierten Scanner, für Laserscanner nicht lesbar, 2 außen angeordnete L-förmige Linenpaare (durchgängig, bzw strichliert) markieren die Leserichtung
  • DotCode ist ein 2 dimensionaler Punktcode mit entweder fester Höhe und variabler Breite, die mit dem Datenumfang variiert, oder umgekehrt.

Bruch

Ein Bruch ist eine Schreibweise für eine Zahl. Der Bruch besteht aus einem Bruchstrich, der dem Rechenzeichen "Dividiert" entspricht, einer Zahl als Zähler, die oberhalb vom Bruchstrich steht und einer Zahl als Nenner, die unterhalb vom Bruchstrich steht. Der Nenner, der auch Teiler oder Divisor genannt wird, gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde. Der Zähler, der auch Dividend genannt wird, gibt an wie viele Teile vom Nenner genommen werden. Dividiert man den Dividend durch den Divisor, so erhält man eine Dezimalzahl, die Quotient genannt wird. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an. Verbal sagt man statt Bruchstich gerne "gebrochen durch" oder "geteilt durch". Geschrieben wird der Bruchstrich als waagrechter oder schräger Strich der zwischen dem Zähler und den Nenner steht.

\({\text{Wert des Bruchs = }}\dfrac{{{\text{Zähler}}}}{{{\text{Nenner}}}}{\text{ = }}\dfrac{{{\text{Dividend}}}}{{{\text{Divisor}}}}{\text{ = Quotient}}\)

Brüche lassen sich durch Division in Dezimalzahlen umwandeln. Stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen, so gehört der Quotient der Menge der rationalen Zahlen an. 

Beispiel:
Der Bruch vier Fünftel entspricht der Dezimalzahl 0,8

\(\dfrac{4}{5} = 4:5 = 0,8 \)

Echter Bruch

Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs kleiner als 1.

\(\dfrac{Z}{N} < 1{\text{ wobei Z < N}}\)

Beispiel:

\(\dfrac{3}{5}\)

Unechter Bruch

Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner, dadurch ist der Wert des Bruchs größer als 1.

\(\dfrac{Z}{N} > 1;{\text{ wobei Z > N}}\)

Beispiel:

\(\dfrac{5}{3} \approx 1,6667\)

Gemischte Zahl

Eine gemischte Zahl ist eine spezielle Schreibweise für einen unechten Bruch, bei der man den unechten Bruch in eine Summe aus einer ganzen Zahl und einem echten Bruch aufspaltet. Danach gibt es noch eine verkürzte Schreibweise, bei der man das Summenzeichen weg lässt.

\(c\dfrac{Z}{N} = c + \dfrac{Z}{n}\)

Beispiel

\(\dfrac{5}{2} = \dfrac{{4 + 1}}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = 2\dfrac{1}{2}\)

Achtung:

• Bei der Schreibweise für Variablen gilt: \(ab = a \cdot b\)
• Bei der Schreibweise für Brüche gilt: \(2\dfrac{1}{2} \ne 2 \cdot \dfrac{1}{2}\)
  weil
  • \(2\dfrac{1}{2} = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5\) ... sprich "2 Ganze plus ein Halbes"
  • \(2 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{2 \cdot 1}}{{1 \cdot 2}} = \dfrac{2}{2} = 1\) ... sprich "2 mal ein Halbes"

Stammbruch

Beim Stammbruch ist der Zähler = 1.

\(\dfrac{1}{N}\)

Dezimalbruch

Beim Dezimalbruch ist der Nenner grundsätzlich eine dekadische Einheit (10, 100, 1000,..). D.h. der Nenner ist immer eine Potenz von 10, das unterscheidet den Dezimalbruch von anderen Brüchen.

\(\dfrac{Z}{{{{10}^n}}}\,\,\,{\text{mit }}n \in {\Bbb Z}\)

Beispiel

\(\eqalign{
& n = 2:\,\,\dfrac{{25}}{{{{10}^2}}} = \dfrac{{25}}{{100}} \cr
& n = - 3:\,\,\dfrac{{ - 6}}{{{{10}^{ - 3}}}} = - \dfrac{6}{{0.001}} \cr} \)

Uneigentlicher Bruch bzw. Scheinbruch

Beim uneigentlichen Bruch ist der Zähler gleich groß wie der Nenner oder ein ganzzahliges Vielfaches vom Nenner. Der Wert des Bruchs ist daher eine ganze Zahl.

\(\dfrac{{n \cdot N}}{N} = n;\)

Beispiel:
n=3, N=2: \(\dfrac{6}{2} = 3\)

Kehrwert eines Bruchs bzw. Reziprokwert

Den Kehrwert eines Bruchs, auch Reziprokwert genannt, erhält man, indem man Zähler und Nenner vom Bruch vertauscht. Man bildet den Kehrwert, damit sich die Division einer Zahl durch einen Bruch auf eine Multiplikation mit dem Kehrwert vom Bruch vereinfacht.

\(\eqalign{ & {\text{Bruch: }}\dfrac{{\text{Z}}}{{\text{N}}} \cr & {\text{Kehrwert: }}\dfrac{{\text{N}}}{{\text{Z}}} \cr}\)

Beispiel:
\(\begin{array}{l} \dfrac{4}{5} \to \dfrac{5}{4}\\ \dfrac{3}{{\left( {\dfrac{4}{5}} \right)}} = 3:\dfrac{4}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{{15}}{4} = 3\dfrac{3}{4} = 3,75 \end{array}\)

Doppelbruch

Ein Doppelbruch ist ein Bruch in dessen Zähler und Nenner ebenfalls ein Bruch steht. Es wird also ein Bruch durch einen anderen Bruch dividiert.

• Einen Doppelbruch löst man auf, indem man „Außenglied (Z_A)“ mal „Außenglied (N_A)“ gebrochen durch „Innenglied (N_I)“ mal „Innenglied (Z_I)“ anschreibt.
  \(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\)
   
• Ein Bruch wird dividiert, indem man den Dividend mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert
  \(\dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)

Wenn nur im Zähler oder im Nenner ebenfalls ein Bruch steht, so ist es wichtig, dass man den Überblick behält, welcher Bruchstrich den Hauptbruch darstellt, also den Hauptzähler vom Hauptnenner trennt. Beachte in den beiden nachfolgenden Beispielen, dass das Gleichheitszeichen auf Höhe vom Hauptbruchstrich  steht. 

Beispiele:

\(\eqalign{ & {\text{Doppelbruch mit Bruch im Zähler:}} \cr & \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{c} = \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{1}}} = \dfrac{a}{{b \cdot c}} \cr & \cr & {\text{Doppelbruch mit Bruch im Nenner:}} \cr & \dfrac{a}{{\dfrac{b}{c}}} = \dfrac{{\dfrac{a}{1}}}{{\dfrac{b}{c}}} = \frac{{a \cdot c}}{b} \cr} \)

Fraktale

Fraktale werden aus nichtlinearen Gleichungen generiert und entstehen durch Rekursion. In der fraktalen Geometrie untersucht man, ob für individuelle Punkte der Gaußebene, eine nichtlineare rekursive Gleichung gegen einen Grenzwert oder gegen unendlich konvergiert (=sich diesem Wert kontinuierlich annähert, ihn aber nie erreicht) oder ob sie divergiert (=zwischen mehreren Werten hin und her springt, also keinen Grenzwert besitzt).

\({z_{n + 1}} = {z_n}^2 + c\)

Zwei besonders bekannte Beispiele für Fraktale sind die Mandelbrot-Menge und die Julia-Menge die auf der gleichen quadratischen Gleichung basieren.

Selbstähnlichkeit

Viele, aber nicht alle, Fraktale zeichnen sich durch Selbstähnlichkeit aus. Man bezeichnet ein Fraktal als selbstähnlich, wenn bei unendlicher Vergrößerung, also beim "hineinzoomen" in das Fraktal, immer wieder die ursprüngliche Struktur, also jene aus dem unvergrößerten Zustand, auftaucht. Sowohl die Mandelbrot-Menge als auch die Julia-Menge sind selbstähnlich. 

Ungleichung

Verbindet man 2 Terme mit einem der nachfolgend angeführten Ungleichheitszeichen, so erhält man eine Ungleichung, verbindet man sie hingegen mit „=“, so erhält man eine Gleichung. Beim Lösen von Ungleichungen sucht man also nach jenen Werten für die Variable mit denen die Ungleichung eine wahre Aussage wird.

Ungleichheitszeichen

Das Ungleichheitszeichen ist ein Vergleichszeichen, welche die Ungleichheit der Terme auf den beiden Seiten einer Ungleichung anzeigt.

Zahlen in Listenform

In der Algebra ist es oft zweckmäßig mit Zahlen in Listenform zu arbeiten. Wir fassen nachfolgen kurz die diesbezüglich wichtigsten Listenformen für Zahlen zusammen. Wir verwenden dabei folgende Sprachregelung:

• Elemente: Mengen setzen sich aus Elementen zusammen.
• Koeffizienten eines Gleichungssystems: Koeffizienten sind unveränderliche Zahlen, die als Faktor vor den Variablen einer Gleichung stehen
• Komponenten einer Matrix: Matrizen setzen sich aus Komponenten zusammen. (Obwohl hier leider oft "Element" statt "Komponente" verwendet wird.) Die Komponenten a_ikder Matrix entsprechen den Koeffizienten a_ikim linearen Gleichungssystem
• Index der Komponenten einer Matrix: Die Position jeder Komponente in der Matrize wird durch zwei Indizes i (=Zeile) und k (=Spalte) beschrieben.
• Koeffizientenmatrix: Ein lineares Gleichungssystem in n Unbekannten und m Gleichungen lässt sich als Koeffizientenmatrix anschreiben. Die Komponenten a_ikder Matrix entsprechen den Koeffizienten a_ikim linearen Gleichungssystem
• Gleichungsmatrix: Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizientenmatrix um eine weitere Spalte nach rechts. In dieser Spalte werden die Konstanten gemäß der "rechten Seite" vom linearen Gleichungssystem geschrieben.

Menge

Eine Menge stellt die Zusammenfassung von mehreren Elementen zu einer Gesamtheit dar. Man verwendet geschwungene Klammern und separiert die einzelnen Elemente durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Elemente angeschrieben werden spielt keine Rolle. {1,2,3}={3,1,2}}={2,3,1}. Entscheidend ist, ob ein Element Teil der Menge ist oder ob nicht. Das mehrfaches Anschreiben von ein und demselben Element einer Menge ist daher nicht sinnvoll. {1,1,2,2,3,3}={1,2,3}

Zusammenhang: Tupel - Vektor - Matrix - Tensor

Tupel, Vektor, Matrix oder Tensor sind verschieden komplexe Schreibweisen für Objekte, die zu einer Liste, unter Berücksichtigung der Reihenfolge, zusammengefasst wurden. Dadurch unterscheiden sie sich von einer Menge, bei denen es nicht auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.

Tupel

Ein Tupel stellt die Zusammenfassung von mehreren Komponenten zu einer Liste dar. Man verwendet runde Klammern und separiert die einzelnen Komponenten durch Beistriche. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle. (1,2,3)≠(3,2,1). Das mehrfaches Anschreiben von gleichlautenden Komponenten hat eine Bedeutung. (1,1,2,2,3,3)≠(1,2,3). Jede Komponente im Tupel hat ihren eindeutigen Platz.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)

• Ein 2er Tupel wird auch geordnetes Paar genannt; z.B.: (x, f(x))
• Ein 3er Tupel wird auch Trippel genannt; z.B.: (x₁,y₁,z₁)
• Ein 4er Tupel wird auch Quadrupel genannt; z.B.: (x₁,y₁,z₁,t₁)

Vektor

Vektoren sind eindimensionale Listen von Zahlen, wobei die Komponenten des Vektors in Form von Zeilen- und als Spaltenvektor angeschrieben werden können. Die Gesamtheit der Komponenten eines Vektors (der Klammerausdruck, der den Vektor repräsentiert) entsprechen daher einem Tupel. Die Anzahl der Komponenten eines Vektors stimmt mit der Dimension des Vektors überein. (x₁,y₁,z₁) repräsentiert also einen 3-dimensionalen Vektor. Die Reihenfolge in der die Komponenten angeschrieben werden spielt eine wesentliche Rolle dabei, in welche Richtung der Vektor zeigt

\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)

• a_n: Die Werte an bezeichnet man als die Komponenten des Vektors.
• n: Also die Anzahl der Komponenten eines Vektors, bezeichnet man als die Dimension des Vektors.

Aus der Geometrie sind uns

• 2-dimeonsionale Vektoren (ebene Geometrie)
• 3-dimensionele Vektoren (räumliche Geometrie) vertraut.

Aus der Physik, speziell der speziellen Relativitätstheorie, sind uns

• 4-dimensionele Tupel vertraut.
• Ihre ersten drei Dimensionen beschreiben den Raum,
• ihre vierte Dimension beschreibt die Zeit.

Matrix

Matrizen sind zweidimensionale Listen von Zahlen. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten ist eine Matrix der m x n ten Ordnung. Die Komponente a_ik mit den Indizes ik steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte. Auch die Zeilen oder Spalten einer Matrix sind Tupel.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)

Lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise

→ Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann mit Hilfe einer Koeffizientenmatrix und zweier Spaltenvektoren angeschrieben werden.

\(\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{12}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{1n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_1}}\\ {{a_{21}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{22}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{2n}} \cdot {x_n}}& = &{{b_2}}\\ {...}& + &{...}& + &{...}& + &{...}& = &{...}\\ {{a_{m1}} \cdot {x_1}}& + &{{a_{m2}} \cdot {x_2}}& + &{...}& + &{{a_{mn}} \cdot {x_n}}& = &{{b_m}} \end{array}\)

Koeffizientenmatrix

Die Koeffizientenmatrix besteht aus den Koeffizienten des linearen Gleichungssystems. Der 1. Spaltenvektor besteht aus den Komponenten von der Variablen x, während die rechte Seite der Gleichungen den 2. Spaltenvektor bildet.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{12}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{_{m1}}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {...}\\ {{x_m}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}}\\ {...}\\ {{b_m}} \end{array}} \right) \Leftrightarrow A \cdot \overrightarrow x = \overrightarrow b \)

Wenn die inverse Matrix A-1 existiert, dann kann man nach x wie folgt auflösen: \(\overrightarrow x = {A^{ - 1}} \cdot \overrightarrow b\)

Gleichungsmatrix

Ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen in n Unbekannten kann aber auch mit Hilfe einer sogenannten Gleichungsmatrix angeschrieben werden. Die Gleichungsmatrix erweitert die Koeffizeintenmatrix um eine zusätzliche, durch einen lotrechten Strich abgetrennte Spalte, in der die Konstanten b_i der rechten Seite vom zugrunde liegenden linearen Gleichungssystem stehen

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{\left| {{b_1}} \right.}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{\left| {{b_2}} \right.}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}&{\left| {{b_m}} \right.} \end{array}} \right)\)

Determinante

Determinanten sind Zahlen(werte) die man (ausschließlich) einer quadratischen Matrix zuordnen kann und die aus deren Komponenten berechnet werden.

Tensor

Ein Tensor ist ein mathematisches Objekt, welches Komponenten hat. Jede Tensorkomponente kann eine Funktion oder eine Zahl sein. Tensoren definieren sich über die Weise, in der ihre Komponenten transformieren.

• Ein Skalar ist ein Tensor der 0. Stufe
• Ein Vektor ist ein Tensor der 1. Stufe
• Eine 3 x 3 Matrix ist ein Tensor der 2. Stufe, dieser besteht also aus 9 Komponenten. Die Komponenten eines Tensors 2. Stufe transformieren
  
  • kontravariant
  • kovariant
  • gemischt
• Aus der Physik, speziell der allgemeinen Relativitätstheorie, sind uns mehrdimensionale Tupel vertraut.

Geht bei einer Koordinatentransformation die Komponente \({x^a}\) in \({x^{a'}}\) über gemäß

• kontravariante \({T^{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^{b'}}}}{{\partial {x^b}}}{T^{ab}}\)

• kovariante \({T_{a'b'}} = \dfrac{{\partial {x^a}}}{{\partial {x^{a'}}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T_{ab}}\)

• gemischte \({T^{a'}}_{b'} = \dfrac{{\partial {x^{a'}}}}{{\partial {x^a}}}\dfrac{{\partial {x^b}}}{{\partial {x^{b'}}}}{T^a}_b\)

so ist T ein Tensor 2. Stufe.

Äquivalenzumformungen bei Gleichungen

Unter einer Äquivalenzumformung einer Gleichung versteht eine Umformung, die den Wahrheitswert der Gleichung unverändert lässt. Eine Äquivalenzumformung ändert also die Lösung einer Gleichung nicht. Äquivalenzumformungen umfassen das Zusammenfassen von Termen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung. Weiters handelt es sich dabei um die Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division eines gleichen Terms auf beiden Seiten der Gleichung. Zudem darf man die beiden Seiten einer Gleichung, linke Seite bzw. rechte Seite vom Gleichheitszeichen, mit einander vertauschen.

Nicht jede Umformung einer Gleichung ist eine Äquivalenzumformung

Die Division durch die Variable x ist keine Äquivalenzumformung.

Beispiel
\(\eqalign{ & {x^2} - 5x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {:x} \right. \cr & x - 5 = 0 \cr} \)

Die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung besteht aus den 2 Elementen: \(L = \left\{ {0;5} \right\}\), die Lösungsmenge der linearen Gleichung besteht nur mehr aus einer Lösung \(L = \left\{ 5 \right\}\), es ist somit eine Lösung verloren gegangen, daher ist diese Umformung unzulässig.

Potenzieren

Potenzieren, d.h. die Potenzrechnung, ermöglicht es, x zu errechnen, wenn x unter einer Wurzel steht.

Beispiel:
Berechne x
\(\eqalign{ & \root 3 \of x = 5 \cr & x = {5^3} = 125 \cr}\)

Bezeichnungen beim Potenzieren

Eine Potenz ist ein Begriff aus der Exponentialrechnung. Sie setzt sich aus einer Mantisse, einer Basis und einem Exponenten zusammen. Es handelt sich dabei um eine vereinfachte Schreibweise einer Multiplikation.

Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

Beim Potenzieren handelt es sich um eine abgekürzte Schreibweise für eine spezielle Multiplikation, bei der ein Faktor „a“ n-mal mit sich selbst multipliziert wird. Man spricht „a hoch n“.

\(\eqalign{ & {a^n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a \cr & a \in {\Bbb R} \cr & n \in {\Bbb N}\backslash \left\{ 0 \right\} \cr}\)

• Quadrieren: Multipliziert man eine Zahl einmal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zum Quadrat, so spricht man vom Quadrieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 2. Beispiel: x²
  Quadriert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine positive Zahl. Beispiel: (-2)²=4
• Kubieren: Multipliziert man eine Zahl zweimal mit sich selbst, bzw. nimmt man eine Zahl zur dritten Potenz, so spricht man vom Kubieren. Die Hochzahl bzw. der Exponent ist also 3. Beispiel: x³
  Kubiert man eine negative Zahl, so ist das Resultat eine negative Zahl. Beispiel: (-2)³= -8

Potenzen mit negativen Exponenten

Eine Potenz mit negativem Exponent kann in einen Quotienten umgewandelt werden, in dessen Zähler eine 1 steht und dessen Nenner die Basis der Potenz aber mit positivem Exponenten ist. In der Praxis geht man aber eher umgekehrt vor und macht aus einem Bruch eine Potenz mit negativem Exponent.
\({a^{ - n}} = \dfrac{1}{{{a^n}}}\)

Potenzen mit negativer Basis

Potenzen von Zahlen mit einer negativen Basis sind positiv, wenn der Exponent gerade ist bzw. negativ, wenn der Exponent ungerade ist.

Beispiel:

• negative Basis, gerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^4} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot 9 = 81\)
• negative Basis, ungerader Exponent: \({\left( { - 3} \right)^3} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 9 \cdot \left( { - 3} \right) = - 27\)

Beispiel aus der Physik:

Lichtgeschwindigkeit

Matrix (Plural: Matrizen)

Eine (m·n) Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, von m Zeilen und n Spalten, zwischen großen (runden) Klammern. Die Position der Komponente a_ik einer Matrix wird mit einem Doppelindex gekennzeichnet. Die Komponente a_ik steht in der i-ten Zeile und in der k-ten Spalte. Merkregel für die Reihenfolge der Indizes: "Zuerst Zeile - Spalte später"

\(A = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right)\)

Ordnung einer Matrix

Die Ordnung einer Matrix ergibt sich aus der Anzahl der Zeilen m und der Anzahl der Spalten n. Die Ordnung einer solchen Matrix ist dann m x n. Sie repräsentiert die Koeffizienten eines linearen Gleichungssystems mit m Gleichungen in n Unbekannten

Einzeilige bzw. einspaltige Matrix

Eine einzeilige bzw. einspaltige Matrix stellt einen Zeilen- bzw. Spaltenvektor dar

• Zeilenvektor \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\)
   
• Spaltenvektor \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}\\ {{a_{21}}} \end{array}} \right){\rm{ bzw}}{\rm{. }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}\\ {{a_{22}}} \end{array}} \right)\)

Gleiche Matrizen

Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie in der Anzahl der Zeilen und der Spalten übereinstimmen und auch jede einzelne Komponente gleich ist.

\({a_{ij}} = {b_{ij}}\)

Quadratische Matrix

besitzt die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)\)

Existiert für eine (quadratische) Matrix A eine inverse Matrix A^-1 so nennt man A eine reguläre Matrix, andernfalls nennt man A eine singuläre Matrix.

Hauptdiagonale einer Matrix

Die Komponenten einer Matrix für die m=n gilt, bilden die Hauptdiagonale einer Matrix

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdot & \cdot \\ \cdot &{{a_{22}}}& \cdot \\ \cdot & \cdot &{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)

Diagonalmatrix

Alle Komponenten einer Diagonalmatrix, ausgenommen jene Komponenten die auf der Hauptdiagonalen liegen, sind Null

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&0&0&0\\ 0&{{a_{22}}}&0&0\\ 0&0&{{a_{33}}}&0\\ 0&0&{...}&{{a_{44}}} \end{array}} \right)\)

Symmetrische Matrix

Eine quadratische Matrix heißt symmetrische Matrix, wenn sie bei Spiegelung an der Hauptdiagonale (links oben → rechts unten) in sich selbst übergeht (d.h. unverändert bleibt). In diesem Sonderfall stimmt die Ausgangsmatrix mit ihrer Transponierten überein.

\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{21}}}&{{a_{31}}}&{{a_{41}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{32}}}&{{a_{42}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{43}}}\\ {{a_{41}}}&{{a_{42}}}&{{a_{43}}}&{{a_{44}}} \end{array}} \right)\)

Nullmatrix

Bei einer Nullmatrix sind sämtliche Komponenten null.

\(A = \left( {\matrix{ 0 & 0 & {...} & 0 \cr 0 & 0 & {...} & 0 \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr 0 & 0 & {...} & 0 \cr } } \right)\)

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Diagonalmatrix (m=n), deren „Diagonal-Komponenten“ gleich 1 sind und bei der alle anderen Komponenten gleich 0 sind

\(A = \left( {\matrix{ 1 & 0 & {...} & 0 \cr 0 & 1 & {...} & 0 \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr 0 & 0 & {...} & 1 \cr } } \right)\)

Dreiecksmatrix

Dreiecksmatrizen sind quadratische Matrizen, deren Komponenten entweder oberhalb oder unterhalb der Hauptdiagonalen nur aus Nullen bestehen.

• Damit, insbesondere auf Grund der vielen Nullen, besitzen sie Eigenschaften, die es einfach machen, mit ihnen zu rechnen.
• Jede quadratische Matrix kann mittels einer Permutationsmatrix in das Produkt zweier Dreicksmatrizen zerlegt werden.
• Sind sie invertierbar und die zugehörigen linearen Gleichungssysteme haben genau eine Lösung.
• Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt jener Komponenten, die auf der Hauptdiagonalen liegen

\({A_{oben}} = {A_{unten}} = \det {A_{oben}} = \det {A_{unten}} = \prod\limits_i {{a_{ii}}} \)

obere Dreiecksmatrix

Bei einer oberen Dreiecksmatrix sind alle Komponenten die unterhalb der Hauptdiagonalen liegen null \({a_{mn}} = 0{\text{ für }}m > n\)

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ 0&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ 0&0&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)

untere Dreiecksmatrix

Bei einer unteren Dreiecksmatrix sind alle Komponenten die oberhalb der Hauptdiagonalen liegen null \({a_{mn}} = 0{\text{ für }}n > m\)

\(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&0&0\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&0\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right)\)

Inverse Matrix

Eine inverse Matrix A^-1 liegt vor, wenn das Produkt einer Matrix A mit mit einer anderen Matrix A^-1 die Einheitsmatrix I ergibt

\(A \cdot {A^{ - 1}} = {A^{ - 1}} \cdot A = I\)

• Eine inverse Matrix ist nur für quadratische Matrizen definiert. Es existiert aber nicht für jede quadratische Matrix eine inverse Matrix.
• Eine Matrix A heißt invertierbar, falls sie eine inverse Matrix A^-1 besitzt. Andernfalls heißt sie singulär.
• Existiert eine inverse Matrix, so ist diese ebenfalls invertierbar. Die Inverse der inversen Matrix ist wieder die Matrix selbst \({\left( {{A^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = A\)
• Die inverse Matrix der transponierten Matrix entspricht der Transponierten der inversen Matrix \({\left( {{A^T}} \right)^{ - 1}} = {\left( {{A^{ - 1}}} \right)^T}\)
• Wenn A eine inverse Matrix A^-1 besitzt, dann ist die Determinante von A auf jeden Fall ungleich Null.
• Die Berechnung der inversen Matrix ist kompliziert. Bei einer 3x3 Matrix muss man 9 lineare Gleichungen in 9 Unbekannten lösen.

Für die Berechnung der inversen Matrix bietet sich das Gauß-Jordan Algorithmus, Adjunkten oder die Cramersche Regel an.

Gauß-Jordan Algorithmus

Der Gauß-Jordan Algorithmus dient zur Berechnung der inversen Matrix A^-1 zu einer gegebenen Matrix A

• Man schreibt wie folgt an: \(A \cdot {A^{ - 1}} = E\)
   
• Man bildet die Blockmatrix \(\left( {A\left| E \right.} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right|\)
   
• Anschließend formt man den linken Block der Blockmatrix mit Hilfe vom Gauß-Jordan Algorithmus so um, dass aus der Matrix A die Einheitsmatrix E wird wobei der rechte Block zur inversen Matrix A^-1 wird, gemäß \(\left( {E\left| {{A^{ - 1}}} \right.} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right.\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}^{ - 1}}&{{a_{12}}^{ - 1}}&{{a_{13}}^{ - 1}}\\ {{a_{21}}^{ - 1}}&{{a_{22}}^{ - 1}}&{{a_{23}}^{ - 1}}\\ {{a_{31}}^{ - 1}}&{{a_{32}}^{ - 1}}&{{a_{33}}^{ - 1}} \end{array}} \right|\)

Transponierte Matrix

Wenn man in einer beliebigen \(m \times n\) Matrix A die Zeilen und die Spalten vertauscht, so erhält man die transponierte oder gespiegelte oder gestürzte \(n \times m\) Matrix A^T.

\(\eqalign{ & A = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{12}}} & {...} & {{a_{1n}}} \cr {{a_{21}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{2n}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{m1}}} & {{a_{m2}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right) \cr & \cr & {A^T} = \left( {\matrix{ {{a_{11}}} & {{a_{21}}} & {...} & {{a_{m1}}} \cr {{a_{12}}} & {{a_{22}}} & {...} & {{a_{m2}}} \cr {...} & {...} & {...} & {...} \cr {{a_{1n}}} & {{a_{2n}}} & {...} & {{a_{mn}}} \cr } } \right) \cr}\)

Aus der 1. Zeile wird also die 1. Spalte, aus der 2. Zeile wird die 2. Spalte usw.

In der Vektorrechnung wird durch Transposition aus einem Zeilenvektor ein Spaltenvektor und umgekehrt.

Transponierte einer transponierten Matrix

Die Transponierte einer transponierten Matrix ist wieder die Ursprungsmatrix.

\({\left( {{A^T}} \right)^T} = A\)

Terme

Terme sind sinnvolle mathematische Ausdrücke, die aus Koeffizienten, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, jedoch nicht aus Relationszeichen bestehen. Gleichungen und Ungleichungen haben links und rechts vom Relationszeichen einen Term. Äquivalenz bezeichnet die Gleichwertigkeit von Termen.

• Beispiel für einen Term: \({x^2} + (px + q) \cdot 2\)
• Beispiel für kein Term, weil sinnlos: 1+!²

Terme sind Grundbestandteile um mathematische Aussagen zu formulieren. Sie müssen daher sinnvoll sein ("1" ist ein Term, "+" ist ein Term). Mathematisch Sinnloses stellt keinen Term dar.

Wert eines Terms

Den Wert eines Terms erhält man, indem man für die Variablen und für die durch Buchstaben ausgedrückten Konstanten konkrete Zahlen in den Term einsetzt

Beispiel:
\(\eqalign{ & {\text{Term: }}2x + c \cr & {\text{Variable }}x = 5 \cr & {\text{Konstante }}c = 3 \cr & {\text{Einsetzen in den Term: 2}} \cdot {\text{5 + 3}} \cr & {\text{Wert vom Term: }}13 \cr} \)

Gleichwertige bzw. äquivalente Terme

Zwei Terme sind gleichwertig bzw. äquivalent, wenn sie den selben Wert ergeben, nachdem man für die selben Variablen bzw. durch Buchstaben angeschriebene Konstanten im Term, jeweils den selben Zahlenwert eingesetzt hat.

Terme vereinfachen

• Gleich lautende Terme darf man zusammenfassen
  Beispiel: \(x + 2x - 4x = - x\)
• Prioritäten der Rechenoperationen: Klammern vor Punktrechnung vor Strichrechnung

Polynome

Man unterscheidet Terme nach der Anzahl ihrer Glieder. Für Polynome mit 1, 2 oder 3 Gliedern gibt es spezielle Bezeichner

• Monom: Term mit einem Glied
  Beispiel: \(\dfrac{2}{5}{x^3}\)
• Binom: Term mit zwei Gliedern. Das Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome
  Beispiel: \(\left( {a + b} \right)\)
• Trinom: Term mit drei Gliedern. Das Trinom ist die Summe oder Differenz dreier Monome
  Beispiel: \({a^2} - 2ab + {b^2}\)

Koeffizienten

Koeffizienten sind unveränderliche Zahlen, die als Faktor vor einer Variablen stehen. Der Koeffizient "1" wird nicht angeschrieben, sodass \(1 \cdot x = x\)

Konstante

Konstante sind Zahlen, die als alleinstehender Summand angeschrieben werden.
Beispiel: 2x+3

• 2 ist ein Koeffizient, weil die 2 ein Faktor vor dem x ist
• x ist eine Variable, also die Veränderliche
• 3 ist eine Konstante

Achtung: Auch für Konstante werden Variablen wie a, b, c oder k verwendet. D.h. auch wenn ein Buchstabe verwendet wird, handelt es sich nach wie vor um eine Konstante. Die wohl berühmteste Konstante ist die Kreiszahl Pi: \(\pi = 3,14159\)

Beispiel: 2x+c

• 2 ist ein Koeffizient, weil die 2 ein Faktor vor dem x ist
• x ist eine Variable, also die Veränderliche
• c ist eine Konstante, die für eine Zahl steht, die im aktuell betrachteten Zusammenhang nicht veränderlich ist

Variable

Variablen sind Platzhalter für veränderliche Elemente aus einer Grundmenge (z.B.: einen veränderlichen Zahlenwert)

• für Variablen bevorzugt man: x, y, z
• für Variablen, die abhängig von einer Formel mehrere Werte annehmen können, bevorzugt man x₁, x₂
• für Lauf-Variable, das sind Variablen die hochgezählt werden, also 0, 1, 2, 3,... bevorzugt man i, j für den höchsten Wert den die Zählvariable erreicht bevorzugt man n, m
• für Konstante bevorzugt man a, b, c, k

"Variable" auch "Platzhalter" oder "Veränderliche" stehen stellvertretend für einen veränderlichen Zahlenwert in Gleichungen oder Ungleichungen. Um Gleichungen lösen zu können, d.h. jenes x zu ermitteln, welches die Gleichung zu einer wahren Aussage macht, strebt man an, dass die Variable x alleine (ohne Koeffizienten) auf einer Seite vom Gleichheitszeichen steht. 

Lösbarkeit: Für n Variablen braucht man n unabhängige Gleichungen um das Gleichungssystem lösen zu können. Hat man n+1 Gleichungen ist das Gleichungssystem überbestimmt (was nicht automatisch ein Problem darstellen muss), hat man n-1 Gleichungen, ist das Gleichungssystem unlösbar, weil es unterbestimmt ist.

Rechenzeichen

Rechenzeichen sind Teil der mathematischen Notation und verbinden zwei Zahlen.
Die gängigsten Rechenzeichen sind das

• Plus-Zeichen: "a+b" für a und b werden addiert
• Minus-Zeichen: "a-b" für b wird von a subtrahiert
• Mal-Zeichen: "\(a \cdot b\)" für a und b werden multipliziert
• Dividiert-Zeichen: "\(a:b\,\,\,a/b\,\,\,a \div b\,\,\,\dfrac{a}{b}\)" für a wird durch b dividiert
• Plusminuszeichen: "\(a \pm b\)" für a plus oder minus b, kommt etwa beim Lösen quadratischer Gleichungen vor
• Minuspluszeichen: "\(a \mp b\)" für a minus oder plus b

Vorzeichen

Das Vorzeichen entscheidet ob die Zahl links und somit im negativen Bereich oder rechts und somit im positiven Bereich auf der Zahlengerade liegt. Steht kein Vorzeichen angeschrieben, so ist die Zahl grundsätzlich positiv. Bei negativen Vorzeichen in Verbindung mit Rechenzeichen empfiehlt sich die Verwendung von Klammern.

• Plus-Vorzeichen: \(1 = + 1\)
• Minus-Vorzeichen: \(- 1 = \left( { - 1} \right)\)

Vorzeichenregeln bei Multiplikation und Division

• Zweimal plus oder zweimal minus ergibt plus.
  • Positives mal Positives = Positives Ergebnis \(3 \cdot 2 = 6\)
  • Negatives mal Negatives = Positives Ergebnis \( - 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 6\)
  • Positives durch Positives = Positives Ergebnis \(3/2 = 1,5\)
  • Negatives durch Negatives = Positives Ergebnis \(\left( - \right)3/\left( { - 2} \right) = 1,5\)
• Einmal plus und einmal minus ergibt minus.
  • Positives mal Negatives = Negatives Ergebnis \(3 \cdot \left( { - 2} \right) = - 6\)
  • Negatives mal Positives = Negatives Ergebnis \( - 3 \cdot 2 = - 6\)
  • Positives durch Negatives = Negatives Ergebnis \(3/\left( { - 2} \right) = - 1,5\)
  • Negatives durch Positives = Negatives Ergebnis \(\left( { - 3} \right)/2 = - 1,5\)
• Positive oder negative Zahl mal Null ergibt Null \(\left( { - 3} \right) \cdot 0 = 3 \cdot 0 = 0\)
• Null geteilt durch positive oder negative Zahl ergibt Null \(0/2 = 0/\left( { - 2} \right) = 0\)
• Positive oder negative Zahl geteilt durch Null ist in der klassischen Arithmetik nicht definiert \(2/0 \buildrel \wedge \over = \left( { - 2} \right)/0 = {\text{ nicht definiert}}\)

Relationszeichen

• Gleichheitszeichen
  Gleichungen sind Terme, die durch ein Gleichheitszeichen „=“ verbunden sind
  Beispiel für eine Gleichung: 1+2x=5
• Ungleichheitszeichen
  Ungleichungen sind Terme, die durch ein Ungleichheitszeichen „<“, „≤“, „>“, „≥“, “ ≠“ verbunden sind
  Beispiel für eine Ungleichung: 1+2x>5

Klammern

Klammern sind Zeichen, die festlegen, in welcher Reihenfolge Terme ausgewertet werden. Es gibt mehrere Klammerstile, damit man diese optisch gut unterscheiden kann.

• Runde Klammer: \(\left( {{\rm{Term}}} \right)\)
• Eckige Klammer: \(\left[ {{\rm{Term}}} \right]\)
• Geschwungene Klammer: \(\left\{ {{\rm{Term}}} \right\}\)
• Verschachtelte Klammern: \(\left\{ {\left[ {\left( {{\rm{Term1}}} \right){\rm{Term2}}} \right]{\rm{Term3}}} \right\}\) Verschachtelte Klammern werden von innen nach außen aufgelöst

Klammerregeln

• Plus vor der Klammer. Steht vor der Klammer ein Plus, so darf man die Klammer einfach weglassen
  \(a + \left( {b + c} \right) = a + b + c\)
   
• Minus vor der Klammer: Steht vor der Klammer ein Minus, so muss man beim Weglassen der Klammer alle Rechenzeichen die in der Klammer stehen umkehren
  \(\begin{gathered} a - \left( {b + c} \right) = a - b - c \hfill \\ a - \left( {b - c} \right) = a - b + c \hfill \\ \end{gathered} \)
   
• Ausmultiplizieren: Steht ein Faktor vor der Klammer, so multipliziert man diesen Faktor mit jedem Monom in der Klammer (Distributivgesetz)
  \(a \cdot \left( {b + c} \right) = a \cdot b + a \cdot c\)

• Herausheben: Kommt in mehreren Gliedern eines Polynoms der gleiche Faktor vor, so kann man diese Glieder in eine Klammer schreiben und den Faktor davor anschreiben.
  \(a \cdot b + a \cdot c = a \cdot \left( {b + c} \right)\)

• Einklammern: Darunter versteht man, wenn alle positiven und alle negativen Werte zu je einer Summe in einer Klammer zusammengefasst werden. Vor der Klammer mit der Summe der negativen Werte, kommt als Rechenzeichen ein Minus.
  \(a - b + c - d = (a + c) - (b + d)\)

• Ausklammern: Unter ausklammern versteht man das Auflösen von Klammern.

\(\left( {a - b} \right) - (c + d) = a - b - c - d\)

Rangordnung der Grundrechenarten

Reihenfolge, in der man die Rechenregeln anwendet:

• Klammern werden zuerst aufgelöst. Innere Klammern werden vor äußeren Klammer berechnet. Innerhalb einer Klammer gilt: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
• Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

Beispiel 1:

\(\eqalign{ & {\left( { - 3 + 4} \right)^2} - \left( {3 \cdot \left( { - 4 + 1} \right)} \right) = \cr & {\text{Exponenten und innere Klammern zuerst}} \cr & = \left( {9 - 24 + 16} \right) - \left( {3 \cdot \left( { - 3} \right)} \right) = \cr & {\text{Punktrechnung und Klammern auflösen}} \cr & =9 - 24 + 16 - \left( { - 9} \right) =\cr & {\text{Strichrechnung}} \cr & {\text{=9 - 24 + 16 + 9 = 10}} \cr} \)

Beispiel 2:
Achtung bei gleichrangigen Rechenarten:
\({6^2}:2 \cdot \left( {2 + 1} \right) = 36:2 \cdot 3 = ?\)

• Richtig: Wir rechnen von links nach rechts und schreiben die Division als Bruch an
  \(36:2 \cdot 3 = \dfrac{{36}}{2} \cdot 3 = 18 \cdot 3 = 54\)
• Falsch: Weil wir in der Rangordnung höhere Klammern dazuerfinden, die es in der Angabe gar nicht gibt. Daher auch das abweichende Resultat.
• \(36:2 \cdot 3 \ne 36:\left( {2 \cdot 3} \right) = \dfrac{{36}}{{2 \cdot 3}} = 36:6 = 6\)

Formel

Formeln sind allgemeingültige wissenschaftliche mathematische Formulierungen in Form einer Gleichung.

Beispiele für Formeln:

Rechenregeln für Brüche

Die Rechenregeln für Brüche kommen immer dann zum Einsatz, wenn es um nicht ganzzahlige Zahlen geht. Es handelt sich dabei um die Menge der rationalen Zahlen. Das ist die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Brüche können in Dezimalzahlen umgerechnet werden und diese können endlich viele Dezimalstellen oder unendlich viele periodische Dezimalstellen haben. Für die Grundrechnungsarten beim Rechnen mit Brüchen gelten Rechenregeln, wobei speziell zwischen gleichnamigen und ungleichnamigen Brüchen zu unterscheiden ist.

Rangordnung der Grundrechenarten beim Bruchrechnen

Die Reihenfolge, in der man die Rechenregeln anwendet, lautet wie immer:

• Klammern werden zuerst aufgelöst. Innere Klammern werden vor äußeren Klammer berechnet. Innerhalb einer Klammer gilt: Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung
• Potenzrechnung geht vor Punktrechnung geht vor Strichrechnung

Erweitern von Brüchen

Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert, wenn man den Zähler und den Nenner mit der gleichen Zahl multipliziert. Man nennt dies "erweitern" eines Bruchs. Der Grund dafür ist, dass der Wert von diesem Erweiterungsbruch in Wirklichkeit 1, also das neutrale Element der Multiplikation, ist.
\(\dfrac{Z}{N} = \dfrac{Z}{N} \cdot \dfrac{c}{c} = \dfrac{{Z \cdot c}}{{N \cdot c}}\)

Das Erweitern von Brüchen verwendet man, wenn man ungleichnamige Brüche auf gleichen Nenner bringen möchte

Beispiel:
Addiere die ungleichnamigen Brüche \(\dfrac{1}{2}\) und \(\dfrac{3}{4}\)

Methode 1: Man erweiterte jeden Bruch um den Nenner des jeweils anderen Bruchs, das führt eventuell zu unnötig hohen Zahlen.
\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{1 \cdot 4}}{{2 \cdot 4}} + \dfrac{{3 \cdot 2}}{{4 \cdot 2}} = \dfrac{4}{8} + \dfrac{6}{8} = \dfrac{{10}}{8}\)

Methode 2: Man bringt Brüche durch Erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache auf gleichen Nenner.
\(\begin{array}{l} kgV(2;4) = 4\\ \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{1 \cdot 2}}{{2 \cdot 2}} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{5}{4} \end{array}\)

Den ersten Bruch muss man mit 2 erweitern, damit der Nenner das kgV beträgt.
Der zweite Bruch hat bereits das kgV als Nenner, daher muss man ihn nicht mehr erweitern.

Kürzen von Brüchen

Der Wert eines Bruchs bleibt unverändert, wenn man den Zähler und den Nenner durch die gleichen Zahl dividiert. Man nennt dies "kürzen eines Bruchs"

Beispiel:
Kürze \(\dfrac{{10}}{8}\)

Wir suchen die größte Zahl, die Zähler und Nenner ohne Rest teilt
\(\begin{array}{l} ggT(8;10) = 2\\ \dfrac{{10}}{8} = \dfrac{{10:2}}{{8:2}} = \dfrac{5}{4} \end{array}\)

Anmerkung: Gibt es keinen ggT von Zähler und Nenner, so kann man einen Bruch nicht kürzen, man kann ihn aber "ausdividieren" wobei man eine Dezimalzahl mit Nachkommastelle als Resultat erhält.

Bruchteil einer Größe

Man errechnet den Bruchteil eines Gesamtwerts, indem man den Gesamtwert als multiplikativen Faktor in den Zähler schreibt

\(\dfrac{Z}{N}{\text{ von }}x = \dfrac{{Z \cdot x}}{N}\)

Beispiel:
Berechne \(\dfrac{2}{3}{\text{ von 12€ }}\)

\(\dfrac{2}{3}{\text{ von 12€ }} = \dfrac{2}{3} \cdot 12\mbox{€} = \dfrac{{2 \cdot 12\mbox{€} }}{3} = \dfrac{{24\mbox{€} }}{3} = 8\mbox{€}\)

Addition bzw. Subtraktion von gleichnamigen Brüchen

Gleichnamige Brüche haben den gleichen Nenner. Man schreibt die Zähler auf einen gemeinsamen Bruchstrich, danach werden die Zähler addiert / subtrahiert.

\(\dfrac{a}{N} \pm \dfrac{b}{N} = \dfrac{{a \pm b}}{N}\)

Beispiel:
\(\dfrac{4}{{12}} + \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{{4 + 6}}{{12}} = \dfrac{{10}}{{12}}\)

Addition bzw. Subtraktion von ungleichnamigen Brüchen

Ungleichnamige Brüche müssen auf gleichen Nenner gebracht werden, ehe dann ihre Zähler addiert / subtrahiert werden.
\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot d}}{{bd}} \pm \dfrac{{c \cdot b}}{{db}} = \dfrac{{ad \pm cb}}{{bd}}\)

Beispiel:
\(\dfrac{4}{9} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{2}{2} - \dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{3}{3} = \dfrac{8}{{18}} - \dfrac{9}{{18}} = \dfrac{{8 - 9}}{{18}} = - \dfrac{1}{{18}}\)

Brüche auf gleichen Nenner bringen

Brüche mit gleichem Nenner nennt man gleichnamige Brüche. Man bringt mehrere Brüche auf gleichen Nenner, d.h. man macht sie gleichnamig, indem man sie durch Erweitern auf das (vorzugsweise kleinste) gemeinsame Vielfache der jeweiligen Nenner bringt.

• Man bestimmt das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nenner, als die kleinste natürliche Zahl, die sowohl ein ganzzahliges Vielfaches des einen als auch aller anderen Nenner ist. Dazu kann man etwa die Primfaktorenzerlegung anwenden. Das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Nenner nennt man den Hauptnenner.
• Man erweitert nun die Brüche jeweils so, dass ihr jeweiliger Nenner gleich groß wie der Hauptnenner wird. Dazu multipliziert man Zähler und Nenner mit einem gemeinsamen Faktor, der bei jedem der gegebenen Brüche natürlich unterschiedlich ist.
• Nun kann man alle erweiterten Zähler additiv in den Zähler eines einzigen Bruchs schreiben, dessen Nenner der Hauptnenner ist.

Will man sich die Primfaktorenzerlegung sparen, kann man jeden Bruch mit dem Produkt aus dem Nenner der jeweils anderen Brüche erweitern. Der Hauptnenner ist dann das Produkt aus allen Nennern der Ausgangsbrüche. Der Nachteil dieser Methode, die immer funktioniert ist, dass der Hauptnenner unnötig groß wird und man den so entstehenden Bruch eventuell noch kürzen kann.

\(\dfrac{a}{b} \pm \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot d}}{{bd}} \pm \dfrac{{c \cdot b}}{{db}} = \dfrac{{ad \pm cb}}{{bd}}\)

Beispiel:
Bringe die beiden Brüche 1/2 und 3/4 auf gleichen Nenner
Man bringt Brüche durch Erweitern auf das kleinste gemeinsame Vielfache auf gleichen Nenner. Wir suchen also das kgV der beiden Nenner
\(\begin{array}{l} kgV(2,4) = 4\\ \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{2} = \dfrac{2}{4}\\ \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{4} \end{array}\)

Beispiel:

Addiere die beiden Brüche 1/2 und 3/4

\(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 3}}{4} = \dfrac{5}{4}\)

Addition bzw. Subtraktion von gemischten Zahlen

Bei gemischten Brüchen werden die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt von einander addiert bzw. subtrahiert

\(A\dfrac{b}{c} \pm D\dfrac{e}{f} = \left( {A + \dfrac{b}{c}} \right) \pm \left( {D + \dfrac{e}{f}} \right) = \left( {A \pm D} \right) + \left( {\dfrac{b}{c} \pm \dfrac{e}{f}} \right)\)

Achtung:
\(A + \dfrac{b}{c} = A\dfrac{b}{c} \ne A \cdot \dfrac{b}{c}\)

Beispiel:
\(\begin{array}{l} 2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{3} = \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {3 + \dfrac{1}{3}} \right) = \\ = \left( {2 + 3} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}} \right) = 5 + \left( {\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}} \right) = \\ = 5 + \dfrac{5}{5} = 5\dfrac{5}{6} \end{array}\)

Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch

Bei der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch kann die ganze Zahl direkt als multiplikativer Faktor in den Zähler geschrieben werden. Ein allfälliges negatives Vorzeichen kann man vor dem Bruch stehen lassen oder zusammen mit dem Faktor in den Zähler schreiben,

Beispiel:
eine negative und eine positive Zahl
\(- 2 \cdot \dfrac{3}{7} = - \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{3}{7} = - \dfrac{6}{7}\)

Beispiel:
zwei negative Zahlen
\(- 2 \cdot \left( { - \dfrac{3}{7}} \right) = \dfrac{{ - 2}}{1} \cdot \dfrac{{ - 3}}{7} = \dfrac{{2 \cdot 3}}{7} = \dfrac{6}{7}\)

Multiplikation von Brüchen

Brüche werden multipliziert, indem man (Zähler * Zähler) und (Nenner *Nenner) rechnet.

\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a \cdot c}}{{b\cdot d}}\)

\(\dfrac{a}{b} \cdot c = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{1} = \dfrac{{a \cdot c}}{b}\)

Beispiel:
\(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 5}} = \dfrac{8}{{15}}\)

Division von Brüchen

Aus der Division von 2 Brüchen wird eine Multiplikation mit dem Kehrwert vom Divisor, ehe dann, wie bei Multiplikationen üblich (Zähler * Zähler) und (Nenner *Nenner) gerechnet wird.

\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)

Die Division von einem Bruch durch einen anderen Bruch kann man auch als Doppelbruch darstellen. Man löst diesen Doppelbruch gemäß der Regel "äußeres Glied mal äußeres Glied" geteilt durch "inneres Glied mal inneres Glied" auf
\(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d} = \dfrac{{\dfrac{a}{b}}}{{\dfrac{c}{d}}} = \dfrac{{a \cdot d}}{{b \cdot c}}\)

Besteht der Nenner eines Bruchs aus einer Potenz, so kann man den Bruch auch als Produkt anschreiben, indem man den Zähler mit dem inversen Nenner multipliziert.

\(\dfrac{{{a^r}}}{{{b^s}}} = {a^r} \cdot {b^{ - s}}\)

\(\dfrac{1}{{{a^{ - s}}}} = {a^s}\)

Beispiel:
Teile 3/4 durch 3/2
\(\dfrac{3}{4}:\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{{3 \cdot 2}}{{4 \cdot 3}} = \dfrac{6}{{12}} = \dfrac{1}{2}\)

Beispiel
Teile 3/4 durch 3
\(\dfrac{3}{4}:3 = \dfrac{3}{4}:\dfrac{3}{1} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{3 \cdot 1}}{{4 \cdot 3}} = \dfrac{3}{{12}} = \dfrac{1}{4}\)