Aufgabe 220
Faktorisieren mit Hilfe vom hornerschen Schema
Löse die Gleichung durch Faktorisieren mit Hilfe der Horner’schen Regel:
\(\left( {{x^3} - 8} \right) = 0\)
Schreibe sowohl die faktorisierte Gleichung als auch deren Lösungen an.
Lösungsweg
Die hornersche Regel lautet:
\(\left( {{x^n} - {c^n}} \right) = \left( {x - c} \right) \cdot \left[ {{x^{n - 1}} \cdot 1 + {x^{n - 2}} \cdot {c^1} + {x^{n - 3}} \cdot {c^2} + ... + x \cdot {c^{n - 2}} + 1 \cdot {c^{n - 1}}} \right]\)
Die „hornersche Regel“ funktioniert nur in jenen (seltenen) Spezialfällen wo die Gleichung „x hoch n“ MINUS „c hoch n“ lautet, was hier der Fall ist:
\(\left( {{x^3} - 8} \right) = \left( {{x^3} - {2^3}} \right) =\)
mit: n=3 und c=2 weil 23=8
\(\begin{array}{l} = \left( {x - 2} \right) \cdot \left[ {{x^2} + x \cdot 2 + 1 \cdot {2^2}} \right] = \\ = \left( {x - 2} \right) \cdot \left[ {{x^2} + 2x + 4} \right] \end{array}\)
Die erste Lösung / NST sieht man sofort in der runden Klammer: x=2.
Die beiden weiteren Lösungen für den Ausdruck in der eckigem Klammer kann man einfach ermitteln.
\(\begin{array}{l} {x^2} + 2x + 4\\ p = 2;\,\,\,\,\,q = 4 \end{array}\)
Gemäß der pq Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen gilt:
\({x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\dfrac{{{p^2}}}{4} - q}\)
\(\begin{array}{l} = - \dfrac{2}{2} \pm \sqrt {\dfrac{{{2^2}}}{4} - 4} = \\ = - 1 \pm \sqrt {1 - 4} = \\ = - 1 \pm \sqrt { - 3} = \\ = - 1 \pm i\sqrt 3 \end{array}\)
Somit kennen wir auch die beiden verbliebenen Lösungen, womit wir vollständig faktorisieren können:
\(\left( {{x^3} - 8} \right) = \left( {x - 2} \right) \cdot \left( {x - \left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)} \right) \cdot \left( {x - \left( { - 1 - i\sqrt 3 } \right)} \right)\)
Die richtige Lösung lautet somit:
\({x_1} = 2;\,\,\,\,\,{x_{2,3}} = \left( { - 1 \pm i\sqrt 3 } \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} \left( {x - 2} \right) \cdot \left( {x - \left( { - 1 + i\sqrt 3 } \right)} \right) \cdot \left( {x - \left( { - 1 - i\sqrt 3 } \right)} \right)\\ {x_1} = 2;\,\,\,\,\,{x_{2,3}} = \left( { - 1 \pm i\sqrt 3 } \right) \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn unter Verwendung der 3 Nullstellen die Gleichung korrekt faktorisiert wurde.