Aufgabe 35
Quadratische Gleichung mit komplexer Lösung
Gegeben sei nachfolgende quadratische Gleichung:
Berechne:
\(\dfrac{1}{{6 + x}} - \dfrac{1}{{6 - x}} = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{36 - {x^2}}}\)
Lösungsweg
Es ist eine quadratische Gleichung zu lösen. Zur Lösung bietet sich die pq Formel an. An Hand der Diskriminante werden wir erkennen, ob die Lösungen reelle oder komplexe Zahl(en) sind.
\(\dfrac{1}{{6 + x}} - \dfrac{1}{{6 - x}} = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{36 - {x^2}}}\)
Auf gemeinsamen Nenner bringen:
\(\eqalign{ & \dfrac{{1 \cdot (6 - x)}}{{(6 + x) \cdot (6 - x)}} - \dfrac{{1 \cdot (6 + x)}}{{(6 - x) \cdot (6 + x)}} = \dfrac{{{x^2} + 2}}{{(6 + x) \cdot (6 - x)}}\,\,\left| { \cdot \,\,\left[ {(6 + x).(6 - x)} \right]} \right. \cr & 6 - x - (6 + x) = {x^2} + 2 \cr & 6 - x - 6 - x = {x^2} + 2 \cr & - {x^2} - 2x - 2 = 0 \cr & {x^2} + 2x + 2 = 0 \cr}\)
Gemäß der pq Formel für eine quadratische Gleichung mit komplexer Lösung gilt:
\(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0 \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr}\)
mit: p=2; q=2
;
\(\eqalign{ & {x_{1,2}} = - \dfrac{2}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{2}{2}} \right)}^2} - 2} \cr & {x_{1,2}} = - 1 \pm \sqrt { - 1} \cr & {x_{1,2}} = - 1 \pm \sqrt D \cr}\)
D<0: Daher hat die Gleichung keine Lösung in R. Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung sind 2 zueinander konjugiert komplexe Zahlen
Gemäß der Formel für "Höhere Potenzen der imaginären Einheit i" gilt:
\(\sqrt { - 1} = i\)
\({x_{1,2}} = - 1 \pm i\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({x_{1,2}} = - 1 \pm i\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung sowohl in Real- und Imaginärteil mit der korrekten Lösung übereinstimmt.