Matrixalgebra
Formel
Matrixalgebra
Matrizen sind zweidimensionale Listen von Zahlen mit denen man rechnen kann
Addition bzw. Subtraktion von Matrizen
Die Addition bzw. Subtraktion von Matrizen (die gleich vielen Zeilen und Spalten haben müssen, die also quadratische Matrizen sind) erfolgt, indem man die Komponenten mit gleichem Index addiert bzw. subtrahiert. Das Resultat ist wieder eine Matrix mit gleich vielen Zeilen und Spalten wie die Summanden bzw. wie Minuend und Subtrahend.
\(A \pm B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{....}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) \pm \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{{b_{12}}}&{....}&{{b_{1n}}}\\ {{b_{21}}}&{{b_{22}}}&{...}&{{b_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{b_{m1}}}&{{b_{m2}}}&{...}&{{b_{mn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}} \pm {b_{11}}}&{{a_{12}} \pm {b_{12}}}&{....}&{{a_{1n}} \pm {b_{1n}}}\\ {{a_{21}} \pm {b_{21}}}&{{a_{22}} \pm {b_{22}}}&{...}&{{a_{2n}} \pm {b_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}} \pm {b_{m1}}}&{{a_{m2}} \pm {b_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}} \pm {b_{mn}}} \end{array}} \right)\)
Multiplikation einer Matrix A mit einer Zahl k
Eine Matrix A wird mit einer Zahl k multipliziert, indem man jede einzelne Komponente der Matrix mit der Zahl multipliziert.
\(k \cdot A = k \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{....}&{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {k \cdot {a_{11}}}&{k \cdot {a_{12}}}&{....}&{k \cdot {a_{1n}}}\\ {k \cdot {a_{21}}}&{k \cdot {a_{22}}}&{...}&{k \cdot {a_{2n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}\\ {k \cdot {a_{m1}}}&{k \cdot {a_{m2}}}&{...}&{k \cdot {a_{mn}}} \end{array}} \right)\)
Multiplikation von Matrizen
- Damit man überhaupt 2 Matrizen mit einander multiplizieren kann, muss die Spaltenanzahl der 1. Matrix gleich groß wie die Zeilenanzahl der 2. Matrix sein. Das Produkt der beiden Matrizen ist wieder eine Matrix, die so viele Zeilen wie die 1. Matrix und so viele Spalten wie die 2. Matrix hat
- Die Komponente cij(also das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte) der resultierenden Matrix C errechnet sich aus der Summe aller Produkte der i-ten Zeile von Matrix A und der j-ten Spalte von Matrix B.
- Die Multiplikation von Matrizen ist im allgemeinen nicht kommutativ. \(A \cdot B \ne B \cdot A\)
- Die Einheitsmatrix I ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation gemäß: \(A \cdot I = I \cdot A = A\)
- Für 3 Matrizen die man miteinander multiplizieren kann, gilt das Assoziativgesetz gemäß: \(\left( {A \cdot B} \right) \cdot C = A \cdot \left( {B \cdot C} \right)\)
- Es gibt 2 Varianten vom Distributivgesetz:
- links nach rechts: \(A \cdot \left( {B + C} \right) = A \cdot B + A \cdot C\)
- rechts nach links: \(\left( {A + B} \right) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C\)
In Matrizenschreibweise ergibt sich:
\(C = A \cdot B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{...}&{{a_{1p}}}\\ {...}&{...}&{...}\\ {{a_{i1}}}&{...}&{{a_{ip}}}\\ {...}&{...}&{...}\\ {{a_{m1}}}&{...}&{{a_{mp}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_{11}}}&{...}&{{b_{1j}}}&{...}&{{b_{1n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{b_{p1}}}&{...}&{{b_{pj}}}&{...}&{{b_{pn}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_{11}}}&{...}&{{c_{1j}}}&{...}&{{c_{1n}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{c_{i1}}}&{...}&{{c_{ij}}}&{...}&{{c_{in}}}\\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...}\\ {{c_{m1}}}&{...}&{{c_{mj}}}&{...}&{{c_{mn}}} \end{array}} \right)\)
mit \(\eqalign{ & {c_{ij}} = {a_{i1}} \cdot {b_{1j}} + {a_{i2}} \cdot {b_{2j}} + ... + {a_{ip}} \cdot {b_{pj}} \cr & {c_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^m {{a_{ik}} \cdot {b_{kj}}} \cr} \)
wobei
| A | m x p - Matrix |
| B | p x n - Matrix |
| C=A•B | m x n - Matrix |
Achtung: Es ist zwar möglich die beiden Matrizen zu multiplizieren, es ist aber nicht möglich A+B oder A-B, also die Summe bzw. die Differenz der beiden Matrizen zu berechnen, da sie unterschiedliche Dimensionen haben.
Potenz einer Matrix
Die n-te Potenz einer Matrix erhält man, indem man die Matrix n mal mit sich selbst multipliziert
\(\eqalign{ & {A^2} = A \cdot A \cr & {A^n} = A \cdot ... \cdot A{\text{ (n - mal multipliziert)}} \cr} \)
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Wissenspfad
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| Zahlen in Listenform | In der Algebra ist es oft zweckmäßig mit Zahlen in Listenform zu arbeiten. Man unterscheidet dabei zunächst eindimensionale Listen wie Vektoren und zweidimensionale Listen wie Matrizen |
Aktuelle Lerneinheit
| Matrixalgebra | Die Addition bzw. Subtraktion von Matrizen (die gleich vielen Zeilen und Spalten haben müssen) erfolgt, indem man die Komponenten mit gleichem Index addiert bzw. subtrahiert |
Verbreitere dein Wissen zur aktuellen Lerneinheit
| Produktionsprozesse in Matrizenschreibweise | Gemäß dem Leontief Modell, einem Input-Output Modell für die Planung von Produktionsprozessen, errechnet man die notwendige Produktion bei vorgegebener Nachfrage und einer den Produktionsprozess abbildenden Technologiematrix. |
| Determinante | Die Determinante det A ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen Matrizen (n,n) bilden kann. Für nicht-quadratische Matrizen sind Determinanten nicht definiert. |
| Matrix | Eine (m·n) Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema, von m Zeilen und n Spalten, zwischen großen (runden) Klammern. |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 4359
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Speiseeis - Aufgabe B_455
Teil a
Ein Restaurant stellt nach eigener Rezeptur Speiseeis für Nachspeisen her. Aus den 6 Rohstoffen Milch, Obers, Eier, Zucker, Schokolade und Vanille werden die 2 Zwischenprodukte Schokoladeeis und Vanilleeis hergestellt. Die Mengen in Gramm für die Herstellung jeweils einer Portion Eis sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
| Schokoladeeis Z1 | Vanilleeis Z2 | |
| Milch R1 | 10 | 25 |
| Obers R2 | 40 | 30 |
| Eier R3 | 20 | 15 |
| Zucker R4 | 5 | 10 |
| Schokolade R5 | 20 | 0 |
| Vanille R6 | 0 | 10 |
Das Schokoladeeis und das Vanilleeis werden für die Nachspeisen Früchtebecher und Bananensplit verwendet. Die dazu jeweils benötigten Eisportionen sind in der nachstehenden Tabelle angegeben.
| Früchtebecher E1 | Bananensplit E2 | |
| Schokoladeeis Z1 | 2 | 0 |
| Vanilleeis Z2 | 1 | 3 |
Die Verflechtung, die den Bedarf an Rohstoffen für jeweils eine Nachspeise angibt, kann durch die Verflechtungsmatrix V beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie die Verflechtungsmatrix V.
[1 Punkt]
Das Restaurant benötigt täglich 50 Früchtebecher und 30 Bananensplits.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie denjenigen Vektor, der den täglichen Bedarf an Rohstoffen angibt.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe
Durchsprache vom Leontief Modell - kam so nicht zur Matura !!
Aufgabe 4361
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Speiseeis - Aufgabe B_455
Teil c
Die Preise für die Rohstoffe können in einem Vektor
\(\overrightarrow p = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}}\\ {{p_2}}\\ {{p_3}}\\ {{p_4}}\\ {{p_5}}\\ {{p_6}} \end{array}} \right)\)
zusammengefasst werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Beschreiben Sie, was durch den Ausdruck \({\overrightarrow p ^T} \cdot V\) im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Kreuzen Sie die richtige Zeilen- und Spaltenanzahl der Matrix \({\overrightarrow p ^T} \cdot V\) an.
[1 aus 5] [1 Punkt]
- Aussage 1: 1x2-Matrix
- Aussage 2: 2x1-Matrix
- Aussage 3: 2x6 Matrix
- Aussage 4: 6x1 Matrix
- Aussage 5: 6x2 Matrix
Aufgabe 4464
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Handyproduktion - Aufgabe B_517
Ein Unternehmen produziert die zwei Handymodelle H1 und H2. Dabei werden die beiden Mikrochip-Sorten M1 und M2 benötigt. Für die Produktion der Mikrochips werden unter anderem die Rohstoffe Silizium (R1) und Kupfer (R2) benötigt. Die nachstehende Tabelle, die der Matrix R entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Rohstoffen (in ME) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Mikrochip-Sorten.
| M1 | M2 | |
| R1 | 5 | 7 |
| R2 | 1 | 2 |
Die nachstehende Tabelle, die der Matrix S entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Mikrochips (in Stück) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Handymodelle.
| H1 | H2 | |
| M1 | 5 | 1 |
| M2 | 0 | 4 |
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie diejenige Matrix A, die den Mengenbedarf an Rohstoffen für die Herstellung je eines Stücks der beiden Handymodelle beschreibt.
[0 / 1 P.]
Bei einer bestimmten Produktionsvariante wird die Matrix S durch eine Matrix
\({S_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5&1 \\ x&4 \end{array}} \right)\)
ersetzt, dass sich anstelle von A die neue Matrix
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {46}&{33} \\ {11}&9 \end{array}} \right)\)
ergibt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie x.
[0 / 1 P.]
Aufgabe 4465
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Handyproduktion - Aufgabe B_517
Ein Unternehmen produziert die zwei Handymodelle H1 und H2. Dabei werden die beiden Mikrochip-Sorten M1 und M2 benötigt. Für die Produktion der Mikrochips werden unter anderem die Rohstoffe Silizium (R1) und Kupfer (R2) benötigt. Die nachstehende Tabelle, die der Matrix R entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Rohstoffen (in ME) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Mikrochip-Sorten.
| M1 | M2 | |
| R1 | 5 | 7 |
| R2 | 1 | 2 |
Die nachstehende Tabelle, die der Matrix S entspricht, beschreibt den Mengenbedarf an Mikrochips (in Stück) für die Herstellung je eines Stücks der beiden Handymodelle.
| H1 | H2 | |
| M1 | 5 | 1 |
| M2 | 0 | 4 |
Teil b
Die Anzahlen der täglich produzierten Handys der Handymodelle H1 und H2 können durch den Vektor
\(\overrightarrow x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \end{array}} \right)\)
dargestellt werden. Die Preise pro ME für die Rohstoffe R1 und R2 können durch den Vektor
\(\overrightarrow p = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{p_1}} \\ {{p_2}} \end{array}} \right)\)
dargestellt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie, was durch den Ausdruck \(S \cdot \overrightarrow x \) im gegebenen Sachzusammenhang berechnet wird.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die Zeilen- und die Spaltenanzahl der Matrix \({\overrightarrow p ^T} \cdot R \cdot S \cdot \overrightarrow x \)
- Zeilenanzahl:
- Spaltenanzahl:
[0 / 1 P.]
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