Dezimalzahl

Dezimalzahl

Dezimalzahlen sind Zahlen, die ein Komma enthalten. Sie sind eine alternative Schreibweise für Brüche. Eine Dezimalzahl besteht aus den Vorkommastellen (dem "Ganzen"), dem Komma und den Nachkomma-Stellen (den "Dezimalen").

Festkommadarstellung

Bei einer Festkommazahl ist festgelegt, wie viele Vorkommastellen es in der Darstellung der Dezimalzahl geben darf.

Eine Festkommazahl besteht aus einer festen Anzahl von Ziffern, wodurch die Position des Kommas (nach der x-ten Vorkommastelle) fest vorgegeben ist.

Lichtgeschwindigkeit als Festkommazahl.:
\({c_0} = 299{\text{ }}792{\text{ }}458\,\,\dfrac{m}{s}\)

Gleitkommadarstellung

Eine Gleitkommazahl besteht aus einer Mantisse, und einer Zehnerpotenz.

Durch die geschickte Wahl des Exponenten, kann man erzwingen, dass die Mantisse zwischen 1 und 10 liegt.

Lichtgeschwindigkeit als Gleitkommazahl:
\({c_0} = 2,99792458{\text{ }}.{\text{ }}{10^8}\,\,\dfrac{m}{s}\)

Zusammenhang Dezimalzahl und Bruch

Die Menge der rationalen Zahlen ist die Menge der ganzen Zahlen, erweitert um die Brüche. Es handelt sich dabei um die Menge aller positiven oder negativen Zahlen, die sich als

• Bruch (Quotient) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen
• Dezimalzahl darstellen lassen, wobei sich eine Dezimalzahl aus einer ganzen Zahl, einem Komma und einem Bruchteil der ganzen Zahl zusammensetzt

Umwandlung Dezimalzahl in Bruch

Um eine Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln, bestimmt man die Anzahl der relevanten Nachkommastellen.

• Bei einer relevanten Nachkommastelle erweitert man den Bruch mit 10 Zehntel,
• Bei zwei relevanten Nachkommastellen erweitert man den Bruch mit 100 Hundertstel
• usw

1. Beispiel:
\(8,3 = 8,3 \cdot \dfrac{{10}}{{10}} = \dfrac{{8,3 \cdot 10}}{{10}} = \dfrac{{83}}{{10}}\)

Beispiel:
\(7,5400 = 7,54 = 7,54 \cdot \dfrac{{100}}{{100}} = \dfrac{{7,54 \cdot 100}}{{100}} = \dfrac{{754}}{{100}}\)

2. Beispiel:

Umwandlung einer rein periodischen Dezimalzahl in einen Bruch:

\(0,\mathop 1\limits^ \bullet = \dfrac{Z}{N}\)

Wir multiplizieren mit 10 und subtrahieren davon die rein periodische Dezimalzahl

\(\begin{array}{*{20}{c}} {10 \cdot 0,\mathop 1\limits^ \bullet }& = &{1,\mathop 1\limits^ \bullet }\\ { - 1 \cdot 0,\mathop 1\limits^ \bullet }& = &{0,\mathop 1\limits^ \bullet }\\ \hline {9 \cdot 0,\mathop 1\limits^ \bullet }& = &1 \end{array}\)

Nun machen wir \(0,\mathop 1\limits^ \bullet \) durch Division durch 9 explizit und erhalten

\(0,\mathop 1\limits^ \bullet = \dfrac{1}{9}\)

3. Beispiel:

Umwandlung einer rein periodischen Dezimalzahl in einen Bruch:

\(0,\mathop 9\limits^ \bullet = \dfrac{Z}{N}\)

Wir multiplizieren mit 10 und subtrahieren davon die rein periodische Dezimalzahl

\(\begin{array}{*{20}{c}} {10 \cdot 0,\mathop 9\limits^ \bullet }& = &{9,\mathop 9\limits^ \bullet }\\ { - 1 \cdot 0,\mathop 9\limits^ \bullet }& = &{0,\mathop 9\limits^ \bullet }\\ \hline {9 \cdot 0,\mathop 9\limits^ \bullet }& = &9 \end{array}\)

Nun machen wir \(0,\mathop 9\limits^ \bullet \) durch Division durch 9 explizit und erhalten

\(0,\mathop 9\limits^ \bullet = \dfrac{9}{9} = 1\)

4. Beispiel

Umwandlung einer rein periodischen Dezimalzahl in einen Bruch:

\(0,\overline {25} = \dfrac{Z}{N}\)

Wir multiplizieren mit 100 und subtrahieren davon die rein periodische Dezimalzahl

\(\begin{array}{*{20}{c}}
{100 \cdot 0,\overline {25} }& = &{25,\overline {25} }\\
{ - 1 \cdot 0,\overline {25} }& = &{0,\overline {25} }\\
\hline
{99 \cdot 0,\overline {25} }& = &{25}
\end{array}\)

Nun machen wir \(0,\overline {25} \) durch Division durch 99 explizit und erhalten

\(0,\overline {25} = \dfrac{{25}}{{99}}\)

Umwandlung Bruch in Dezimalzahl

Um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, dividiert man den Zähler durch den Nenner. Die Division wird zur Kopfrechnung wenn es möglich ist den Bruch so umzuformen, dass im Nenner ein Vielfaches von 10 steht.

Beispiel
\(\dfrac{3}{4} = 3:4 = 0,75\)

Beispiel:
\(\dfrac{{16}}{5} = \dfrac{{16}}{5} \cdot \dfrac{2}{2} = \dfrac{{32}}{{10}} = 32:10 = 3,2\)

Periodische Dezimalzahl

Periodische Dezimalzahlen entstehen beim Umwandeln von Brüchen in Dezimalzahlen, wenn sich eine oder mehrere Nachkommastellen einer Dezimalzahl unendlich oft wiederholen. Man unterscheidet zwischen

• rein periodischen Zahlen, bei denen die Periode unmittelbar nach dem Komma entsteht
  Beispiel: \(1:7 = 0,142857\,\,142857\,\,\overline {142857} \)
• gemischt periodische Zahlen, bei denen die Periode nicht unmittelbar nach dem Komma entsteht, sondern erst später
  Beispiel: \(1:6 = 0,166\mathop 6\limits^ \bullet \)
• Periodenlänge: Anzahl der Ziffern, welche die Periode bilden
• Vorperiode: Zahl zwischen dem Komma und dem Beginn der Periode
• Periodenpunkt: Besteht die Periode aus lediglich einer einzigen Stelle / Ziffer, so macht man über dieser Zahl einen Punkt um die Perioden darzustellen
• Periodenstrich: Besteht die Periode aus mehreren Stellen / Ziffern, so macht man über diesen Ziffern einen Strich um die Periode darzustellen.

Addition bzw. Subtraktion von Dezimalzahlen

Dezimalzahlen werden addiert, indem man sie komma-genau untereinander schreibt und dann stellenweise addiert bzw. subtrahiert. Jede Zahl muss die selbe Anzahl an Nachkommastellen haben, wobei man fehlende Nachkommastellen durch Nullen auffüllt.

Beispiel:
\(\begin{array}{l} 18,3 + 25,77 = 44,07\\ \\ \begin{array}{*{20}{l}} 1&8&,&3&0\\ 2&5&,&7&7\\ \hline 4&4&,&0&7 \end{array} \end{array}\)

Beispiel:
\(\begin{array}{l} 25,77 - 18,3 = 7,47\\ \\ \begin{array}{*{20}{l}} {}&2&5&,&7&7\\ - &1&8&,&3&0\\ \hline {}&0&7&,&4&7 \end{array} \end{array}\)

Multiplikation von Dezimalzahlen

Man multipliziert zwei Dezimalzahlen zunächst ohne das Komma zu berücksichtigen. Das Produkt hat dann gleich viele relevante Nachkommastellen wie die beiden Faktoren zusammen.

Beispiel:
\(\begin{array}{l} 17,3 \cdot 6,250 = \\ 17,3 \cdot 6,25 \end{array}\)

Wir haben die nicht relevante Nachkomma-Null weggelassen.
Als nächstes multiplizieren wir, ohne die Kommastellen zu berücksichtigen
Der 1. Faktor hat 1 und der 2. Faktor hat 2 Nachkommastellen, daher muss das Produkt 1+2=3 Nachkommastellen haben, was wir im letzten Schritt berücksichtigen:
\(\begin{array}{*{20}{l}} 1&7&,&3& \cdot &6&,&2&5\\ \hline 1&0&3&8& \cdot &{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&3&4&6& \cdot &{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&8&6&5&{}&{}&{}\\ \hline 1&0&8&1&2&5&{}&{}&{}\\ 1&0&8&,&1&2&5&{}&{} \end{array}\)

\(17,3 \cdot 6,25 = 108,125\)

Division von Dezimalzahlen

Man dividiert eine Dezimalzahl durch eine andere Dezimalzahl, indem man das Komma von beiden Dezimalzahlen so weit nach rechts verschiebt, bis der Divisor eine ganze Zahl ist. Anschließend führt man die Division, so wie vertraut, durch.

Beispiel:
\(27,3:0,07 = \)

Der Divisor hat 2 Dezimalstellen, daher müssen wir das Komma von Dividend und Divisor um 2 Stellen nach rechts verschieben. Das entspricht einer Erweiterung von Zähler und Nenner um den Faktor 100. Man kann das auf 2 Arten veranschaulichen

• Erweitern um 100:
  \(\dfrac{{27,3}}{{0,07}} \cdot \dfrac{{100}}{{100}} = \dfrac{{2730}}{7} = 2730:7\)
   
• Verschieben vom Komma:
  \(\begin{array}{l} 27,3:0,07\,\,\,\,\,\left| { \cdot 100} \right.\\ 2730:7 \end{array}\)

In beiden Fällen wurde die Division umgeformt zu:
\(2730:7\)

Wir führen die Division durch:
\(\begin{array}{*{20}{l}} 2&7&3&0&:&7& = &3&9&0\\ {}&6&3& \cdot &{}&{}&{}&{}&{}&{}\\ {}&{}&{}&0&{}&{}&{}&{}&{}&{} \end{array}\)

... und erhalten die Entsprechung
\(2730:7 = 390\,\,\,\, \buildrel \wedge \over = \,\,\,\,27,3:0,07 = 390\)