Aufgabe 162
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(s\left( t \right) = \root 3 \of {{t^2} - 16} + 12\)
s(t) ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit von der Reisezeit beschreibt, den ein Raumschiff von seinem Ausgangspunkt aus zurücklegt. Berechne durch Differenzieren die Funktion der Geschwindigkeit v(t), in Abhängigkeit von der Zeit, die das Raumschiff unterwegs ist.
Lösungsweg
Gemäß \(v\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}}\) errechnet sich die Geschwindigkeit aus der Änderung des Weges pro Zeiteinheit. Wir werden die Wurzel also in eine Potenz umwandeln und dann die Regeln zum Differenzieren von Potenzen anwenden und an die innere Ableitung gemäß der Kettenregel denken.
\(s\left( t \right) = \root 3 \of {{t^2} - 16} + 12 = {\left( {{t^2} - 16} \right)^{\dfrac{1}{3}}} + 12\)
\(v\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}} = \dfrac{1}{3}{\left( {{t^2} - 16} \right)^{ - \dfrac{2}{3}}} \cdot 2t = \dfrac{{2t}}{{3\root 3 \of {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^2}} }}\)
Wir haben die Regeln zum Differenzieren von Potenzen anwendet und an die innere Ableitung der Klammer gemäß der Kettenregel gedacht!
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(v\left( t \right) = \dfrac{{2t}}{{3\root 3 \of {{{\left( {{t^2} - 16} \right)}^2}} }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.