Kovarianzprinzip
Formel
Kovarianzprinzip
Das Kovarianzprinzip besagt, dass die Naturgesetze in allen Bezugssystemen gleich sind. Es gibt kein „ausgezeichnetes“ Inertialsystem, keine Physik die von Koordinatensystemen abhängig ist.
Die Umrechnung von einem zu einem anderen Bezugssystem erfolgt über die
- Galilei-Transformation für die Newton’sche Mechanik
- Lorentz-Transformation gemäß der speziellen Relativitätstheorie
- Transformationsgesetze von Tensoren gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie
Galilei - Transformation
Translationen dienen der Umrechnung von Vorgängen, die in zwei gegeneinander verschobenen Bezugssystemen stattfinden. Der Newtonschen Mechanik liegt die Galilei Transformation zu Grunde. Sie gilt für unbeschleunigte Inertialsysteme, also für Koordinatensysteme die sich mit konstanter Geschwindigkeit zu einander bewegen, bei \(v \ll {c_0}\) . Solche Koordinatensysteme kann man durch Messungen nicht von einander unterscheiden, man nennt sie daher Inertialsysteme.
Zum Zeitpunkt t=0 habe ein nur in Richtung der x-Achse bewegtes Koordinatensystem S' und ein ruhendes Koordinatensystem S deckungsgleiche Ursprünge. Nach der Zeit t hat S' in x-Richtung den Weg v.t zurückgelegt. Es geben sich somit folgenden Transformationsgleichungen für die 3 Ortskoordinaten und die Zeitkoordinate:
| \({x' = x - v \cdot t}\) | \({x = x' + v \cdot t}\) |
| \({y' = y}\) | \(y = y'\) |
| \(z' = z\) | \(z = z'\) |
| \({t' = t}\) | \({t = t'}\) |
Lorentz-Transformation
Translationen dienen der Umrechnung von Vorgängen, die in zwei gegeneinander verschobenen Bezugssystemen stattfinden. Der speziellen Relativitätstheorie liegt die Lorenz Transformation zu Grunde. Sie gilt für unbeschleunigte Systeme, die sich mit konstanter aber im Verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit sehr hoher Geschwindigkeit zu einander bewegen, bei \(v \le {c_0}\). In jedem der beiden Systeme breitet sich das Licht mit der konstanten Lichtgeschwindigkeit aus, unabhängig davon wie schnell sich die beiden Bezugssysteme zu einander bewegen. Die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen kann nie die Lichtgeschwindigkeit übersteigen.
| \(x' = \gamma \cdot \left( {x - v \cdot t} \right)\) | \(x = \gamma \cdot \left( {x' + v \cdot t} \right)\) |
| \(t' = \gamma \cdot \left( {t - \dfrac{{v \cdot x}}{{{c_0}^2}}} \right)\) | \(t = \gamma \cdot \left( {t' + \dfrac{{v \cdot x'}}{{{c_0}^2}}} \right)\) |
Die Lorentztransformation bedingt, dass die Längen und die Zeit nicht invariant sind.
Längenkontraktion
Unter der relativistischen Längenkontraktion versteht man, dass alle in Bewegungsrichtung liegenden Längen von einem Objekt, aus einem anderen bewegten Bezugssystem aus betrachtet, verkürzt erscheinen. Strecken senkrecht zur Bewegungsrichtung behalten ihre Länge unverändert bei.
\(\Delta x' = \Delta x \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{v}{{{c_0}}}} \right)}^2}} \)
Zeitdilatation
Unter der relativistischen Zeitdilatation versteht man, dass in jedem Bezugssystem, die Zeit eines anderen bewegten Bezugssystems gedehnt erscheint. „Bewegte Uhren gehen langsamer“
\(\Delta t' = \dfrac{{\Delta t}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{v}{{{c_0}}}} \right)}^2}} }}\)
Relativistische Massenzunahme
Die relativistische Massenzunahme besagt, dass die Masse eines Teilchens geschwindigkeitsabhängig ist. Je mehr sich die Geschwindigkeit v des Körpers der Lichtgeschwindigkeit c nähert, umso mehr nimmt seine Masse bzw. nimmt seine Trägheit zu und geht schließlich gegen Unendlich. Masselose Teilchen fliegen stets mit Lichtgeschwindigkeit.
\({m_v} = \dfrac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }} = \gamma .{m_0}\)
Für v=0 wird der Ausdruck unter der Wurzel gleich 1 und mv=m0. Man spricht von der Ruhemasse.
Lorentzfaktor
In vielen Formeln der speziellen Relativitätstheorie findet man einen Faktor, der auf Grund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ausschließlich von der Relativgeschwindigkeit v zweier Inertialsysteme abhängt. Der Lorentzfaktor "Gamma" ist dimensionslos.
\(\gamma = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - \dfrac{{{v^2}}}{{{c_0}^2}}} }};\)
- Für v=0 wird der Ausdruck unter der Wurzel und somit der Lorentzfaktor selbst zu 1.
- Nähert sich v der Lichtgeschwindigkeit, so geht der Ausdruck unter der Wurzel gegen unendlich.
- Faustformel: Beträgt die Relativgeschwindigkeit der Systeme 10% von der Lichtgeschwindigkeit, so beträgt der Translationsfaktor ca. 1%. Umgekehrt formuliert: Rechnet man bei 10% der Lichtgeschwindigkeit nicht relativistisch, so beträgt der Fehler ca. 1%.
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