Polygone

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Polygon

Ein Polygon, auch n-Eck oder Vieleck genannt, ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen in sich geschlossenen Streckenzug aus n Seiten bzw. Kanten und n Ecken gebildet wird. Das Polygon heißt eben, wenn alle Seiten und Ecken in derselben Ebene liegen, andernfalls heißt es windschief. Das einfachste Polygon, das Dreieck, wird aus drei Strecken und drei Ecken gebildet. Weitere Polygone sind das Viereck, Fünfeck, Sechseck und so weiter. Polygone werden also nach der Anzahl n der Ecken benannt.

Unregelmäßiges Polygon

Für alle Polygone gilt,

  • Verbindungsstecken benachbarter Eckpunkte werden als Seiten oder Kanten bezeichnet. Die Summe deren Längen ergibt den Umfang.
  • Verbindungsstrecken nicht benachbarter Eckpunkte werden als Diagonale bezeichnet
  • dass die Anzahl der Ecken gleich der Anzahl der Seiten ist.
  • die Anzahl der Diagonalen ergibt sich zu: \({d_n} = \dfrac{1}{2} \cdot n \cdot \left( {n - 3} \right)\)
  • die Fläche kann durch Zerlegung in Teildreicke berechnet werden.

 

Man unterscheidet 

  • konvexes n-Eck: Jede Verbindungsstrecke zweier Eckpunkte (Diagonalen) liegt im Inneren vom Polygon, oder fällt mit einer Seite zusammen. Jeder Innenwinkel ist kleiner gleich 180°.

    • Für die Summe der Innenwinkel gilt: \({S_n} = \left( {n - 2} \right) \cdot 180^\circ \)
    • Für die Summe der Außenwinkel beträgt 360°.
  • konkaves n-Eck: liegt mindestens eine Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte, also eine Diagonale, außerhalb vom Polygon, dann gibt es mindestens einen Innenwinkel größer als 180°. 
  • überschlagenes n-Eck: Es schneiden einander zwei oder mehr Seiten an einer Stelle, die kein Eckpunkt ist.

Gleichseitiges Polygon

Ein gleichseitiges Polygon hat lauter gleich lange Seiten, aber unterschiedlich große Winkel

Illustration von einem gleichseitigen Polygon

Winkel α Winkel α: Winkel zwischen E, F, G Winkel α Winkel α: Winkel zwischen E, F, G Winkel β Winkel β: Winkel zwischen F, G, H Winkel β Winkel β: Winkel zwischen F, G, H Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen G, H, I Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen G, H, I Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen H, I, J Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen H, I, J Winkel ε Winkel ε: Winkel zwischen I, J, K Winkel ε Winkel ε: Winkel zwischen I, J, K Winkel ζ Winkel ζ: Winkel zwischen J, K, L Winkel ζ Winkel ζ: Winkel zwischen J, K, L Strecke f Strecke f: Strecke E, F Strecke g Strecke g: Strecke F, G Strecke h Strecke h: Strecke G, H Strecke i Strecke i: Strecke H, I Strecke j Strecke j: Strecke I, J Strecke k Strecke k: Strecke J, K a Text1 = “a” a Text2 = “a” a Text3 = “a” a Text4 = “a” a Text5 = “a” a Text6 = “a”

Gleichwinkeliges Polygon

Ein gleichwinkeliges Polygon hat lauter gleich große Winkel, aber unterschiedlich lange Seiten

Illustration von einem gleichwinkeligen Polygon

Sechseck Vieleck2 Sechseck Vieleck2: Polygon K, M, N, O, P, L Winkel α Winkel α: Winkel zwischen L, K, M Winkel α Winkel α: Winkel zwischen L, K, M Winkel β Winkel β: Winkel zwischen K, M, N Winkel β Winkel β: Winkel zwischen K, M, N Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen M, N, O Winkel γ Winkel γ: Winkel zwischen M, N, O Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen N, O, P Winkel δ Winkel δ: Winkel zwischen N, O, P Winkel ε Winkel ε: Winkel zwischen O, P, L Winkel ε Winkel ε: Winkel zwischen O, P, L Winkel ζ Winkel ζ: Winkel zwischen P, L, K Winkel ζ Winkel ζ: Winkel zwischen P, L, K Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke K, M Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke M, N Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke N, O Strecke o Strecke o: Strecke O, P Strecke p Strecke p: Strecke P, L Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke L, K $$\alpha $$ Text1 = “$$\alpha $$” $$\alpha $$ Text2 = “$$\alpha $$” $$\alpha $$ Text3 = “$$\alpha $$” $$\alpha $$ Text4 = “$$\alpha $$” $$\alpha $$ Text5 = “$$\alpha $$” $$\alpha $$ Text6 = “$$\alpha $$”

Regelmäßiges Polygon

Ein Vieleck (n Eck) heißt regelmäßig, wenn dessen \(n \geqslant 3\) Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel und alle Außenwinkel gleich groß sind. Ein regelmäßiges Vieleck ist daher gleichseitig und gleichwinkelig.

\(\eqalign{ & a = b = c = ... \cr & \alpha = \beta = \gamma = .. \cr} \)

  • Jedes regelmäßige Vieleck hat einen Um- und einen Inkreis, die jeweils den gleichen Mittelpunkt M haben.
  • Verbindet man den Mittelpunkt M mit den n Ecken, so entstehen n kongruente gleichschenkelige Dreiecke

Umfang vom regelmäßigen Polygon

Der Umfang vom regelmäßigen Vieleck errechnet sich aus Seitenanzahl mal Seitenlänge

\(U = n \cdot a\)

Winkelsumme im regelmäßigen Polygon

An jeder Ecke im regelmäßigen Vieleck ergänzen sich der Innen- und der Außenwinkel auf 180°.

\(\alpha + \alpha ' = 180^\circ \)

Die Winkelsumme im regelmäßigen Vieleck ergibt sich aus der um zwei reduzierten Anzahl an Ecken mal 180°

\(\left( {n - 2} \right) \cdot 180^\circ \)

Der Innenwinkel im regelmäßigen Vieleck ergibt sich aus der Winkelsumme im regelmäßigen Vieleck dividiert durch die Anzahl der Ecken

\(\alpha = \dfrac{{n - 2}}{n} \cdot 180^\circ \)

Die Außenwinkel im regelmäßigen Vieleck ergeben sich aus dem Vollkreis dividiert durch die Anzahl der Ecken

\(\alpha ' = \dfrac{{360^\circ }}{n}\)

Flächeninhalt vom regelmäßigen Polygon

Der Flächeninhalt vom regelmäßigen Vieleck errechnet sich aus der Summe der Fläche des Bestimmungsdreiecks

\(A = \dfrac{{n \cdot a \cdot {r_i}}}{2} = \dfrac{{n \cdot {r_u}^2}}{2} \cdot \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{n}} \right)\)

Länge der Diagonalen im regelmäßigen Polygon

Von jeder Ecke im regelmäßigen Vieleck gehen n-3 Diagonalen aus. Die Länge der k-ten Diagonale errechnet sich wir folgt:

\({d_k} = a \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {k + 1} \right) \cdot \pi }}{n}} \right) \cdot \csc \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)

Inkreisradius vom regelmäßigen Polygon

Der Inkreisradius vom regelmäßigen Vieleck ist das Produkt aus der halben Seitenlänge und dem Kotangens von π geteilt durch n

\({r_i} = \dfrac{a}{2} \cdot \cot \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)

Umkreisradius vom regelmäßigen Polygon

Der Umkreisradius vom regelmäßigen Vieleck ist das Produkt aus der halben Seitenlänge und dem Kosekans von π geteilt durch n

\({r_u} = \dfrac{a}{2} \cdot \csc \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)

Illustration vom regelmäßigen Dreieck bis zum regelmäßigen 12-Eck

Vieleck Vieleck5 Vieleck Vieleck5: Vieleck(R, Q, 7) Vieleck Vieleck5 Vieleck Vieleck5: Vieleck(R, Q, 7) Vieleck Vieleck6 Vieleck Vieleck6: Vieleck(R, Q, 8) Vieleck Vieleck6 Vieleck Vieleck6: Vieleck(R, Q, 8) Vieleck Vieleck7 Vieleck Vieleck7: Vieleck(R, Q, 9) Vieleck Vieleck7 Vieleck Vieleck7: Vieleck(R, Q, 9) Vieleck Vieleck8 Vieleck Vieleck8: Vieleck(R, Q, 10) Vieleck Vieleck8 Vieleck Vieleck8: Vieleck(R, Q, 10) Vieleck Vieleck9 Vieleck Vieleck9: Vieleck(R, Q, 11) Vieleck Vieleck9 Vieleck Vieleck9: Vieleck(R, Q, 11) Vieleck Vieleck10 Vieleck Vieleck10: Vieleck(R, Q, 12) Vieleck Vieleck10 Vieleck Vieleck10: Vieleck(R, Q, 12) Vieleck Vieleck11 Vieleck Vieleck11: Vieleck(R, Q, 6) Vieleck Vieleck11 Vieleck Vieleck11: Vieleck(R, Q, 6) Vieleck Vieleck12 Vieleck Vieleck12: Vieleck(R, Q, 5) Vieleck Vieleck12 Vieleck Vieleck12: Vieleck(R, Q, 5) Vieleck Vieleck13 Vieleck Vieleck13: Vieleck(R, Q, 4) Vieleck Vieleck13 Vieleck Vieleck13: Vieleck(R, Q, 4) Vieleck Vieleck14 Vieleck Vieleck14: Vieleck(R, Q, 3) Vieleck Vieleck14 Vieleck Vieleck14: Vieleck(R, Q, 3) Strecke e Strecke e: Strecke R, Q Strecke f_1 Strecke f_1: Strecke Q, S Strecke g_1 Strecke g_1: Strecke S, T Strecke h_1 Strecke h_1: Strecke T, U Strecke i_1 Strecke i_1: Strecke U, V Strecke j_1 Strecke j_1: Strecke V, W Strecke k_1 Strecke k_1: Strecke W, R Strecke l_1 Strecke l_1: Strecke R, Q Strecke m_1 Strecke m_1: Strecke Q, Z Strecke n_1 Strecke n_1: Strecke Z, A_1 Strecke p_1 Strecke p_1: Strecke A_1, B_1 Strecke q_1 Strecke q_1: Strecke B_1, C_1 Strecke r_1 Strecke r_1: Strecke C_1, D_1 Strecke s_1 Strecke s_1: Strecke D_1, E_1 Strecke t_1 Strecke t_1: Strecke E_1, R Strecke a_1 Strecke a_1: Strecke R, Q Strecke b_1 Strecke b_1: Strecke Q, F_1 Strecke c_1 Strecke c_1: Strecke F_1, G_1 Strecke d_1 Strecke d_1: Strecke G_1, H_1 Strecke e_1 Strecke e_1: Strecke H_1, I_1 Strecke f_2 Strecke f_2: Strecke I_1, J_1 Strecke g_2 Strecke g_2: Strecke J_1, K_1 Strecke h_2 Strecke h_2: Strecke K_1, L_1 Strecke i_2 Strecke i_2: Strecke L_1, R Strecke j_2 Strecke j_2: Strecke R, Q Strecke k_2 Strecke k_2: Strecke Q, M_1 Strecke l_2 Strecke l_2: Strecke M_1, N_1 Strecke m_2 Strecke m_2: Strecke N_1, O_1 Strecke n_2 Strecke n_2: Strecke O_1, P_1 Strecke p_2 Strecke p_2: Strecke P_1, Q_1 Strecke q_2 Strecke q_2: Strecke Q_1, R_1 Strecke r_2 Strecke r_2: Strecke R_1, S_1 Strecke s_2 Strecke s_2: Strecke S_1, T_1 Strecke t_2 Strecke t_2: Strecke T_1, R Strecke a_2 Strecke a_2: Strecke R, Q Strecke b_2 Strecke b_2: Strecke Q, U_1 Strecke c_2 Strecke c_2: Strecke U_1, V_1 Strecke d_2 Strecke d_2: Strecke V_1, W_1 Strecke e_2 Strecke e_2: Strecke W_1, Z_1 Strecke f_3 Strecke f_3: Strecke Z_1, A_2 Strecke g_3 Strecke g_3: Strecke A_2, B_2 Strecke h_3 Strecke h_3: Strecke B_2, C_2 Strecke i_3 Strecke i_3: Strecke C_2, D_2 Strecke j_3 Strecke j_3: Strecke D_2, E_2 Strecke k_3 Strecke k_3: Strecke E_2, R Strecke l_3 Strecke l_3: Strecke R, Q Strecke m_3 Strecke m_3: Strecke Q, F_2 Strecke n_3 Strecke n_3: Strecke F_2, G_2 Strecke p_3 Strecke p_3: Strecke G_2, H_2 Strecke q_3 Strecke q_3: Strecke H_2, I_2 Strecke r_3 Strecke r_3: Strecke I_2, J_2 Strecke s_3 Strecke s_3: Strecke J_2, K_2 Strecke t_3 Strecke t_3: Strecke K_2, L_2 Strecke a_3 Strecke a_3: Strecke L_2, M_2 Strecke b_3 Strecke b_3: Strecke M_2, N_2 Strecke c_3 Strecke c_3: Strecke N_2, O_2 Strecke d_3 Strecke d_3: Strecke O_2, R Strecke e_3 Strecke e_3: Strecke R, Q Strecke f_4 Strecke f_4: Strecke Q, P_2 Strecke g_4 Strecke g_4: Strecke P_2, Q_2 Strecke h_4 Strecke h_4: Strecke Q_2, R_2 Strecke i_4 Strecke i_4: Strecke R_2, S_2 Strecke j_4 Strecke j_4: Strecke S_2, R Strecke k_4 Strecke k_4: Strecke R, Q Strecke l_4 Strecke l_4: Strecke Q, T_2 Strecke m_4 Strecke m_4: Strecke T_2, U_2 Strecke n_4 Strecke n_4: Strecke U_2, V_2 Strecke p_4 Strecke p_4: Strecke V_2, R Strecke q_4 Strecke q_4: Strecke R, Q Strecke r_4 Strecke r_4: Strecke Q, W_2 Strecke s_4 Strecke s_4: Strecke W_2, Z_2 Strecke t_4 Strecke t_4: Strecke Z_2, R Strecke a_4 Strecke a_4: Strecke R, Q Strecke b_4 Strecke b_4: Strecke Q, A_3 Strecke c_4 Strecke c_4: Strecke A_3, R Punkt Q Q = (27, 1) Punkt Q Q = (27, 1) Punkt R R = (20, 1) Punkt R R = (20, 1) Punkt S Punkt S: Vieleck(R, Q, 7) Punkt S Punkt S: Vieleck(R, Q, 7) Punkt T Punkt T: Vieleck(R, Q, 7) Punkt T Punkt T: Vieleck(R, Q, 7) Punkt U Punkt U: Vieleck(R, Q, 7) Punkt U Punkt U: Vieleck(R, Q, 7) Punkt V Punkt V: Vieleck(R, Q, 7) Punkt V Punkt V: Vieleck(R, Q, 7) Punkt W Punkt W: Vieleck(R, Q, 7) Punkt W Punkt W: Vieleck(R, Q, 7) Punkt Z Punkt Z: Vieleck(R, Q, 8) Punkt Z Punkt Z: Vieleck(R, Q, 8) Punkt A_1 Punkt A_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt A_1 Punkt A_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt B_1 Punkt B_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt B_1 Punkt B_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt C_1 Punkt C_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt C_1 Punkt C_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt D_1 Punkt D_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt D_1 Punkt D_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt E_1 Punkt E_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt E_1 Punkt E_1: Vieleck(R, Q, 8) Punkt F_1 Punkt F_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt F_1 Punkt F_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt G_1 Punkt G_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt G_1 Punkt G_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt H_1 Punkt H_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt H_1 Punkt H_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt I_1 Punkt I_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt I_1 Punkt I_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt J_1 Punkt J_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt J_1 Punkt J_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt K_1 Punkt K_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt K_1 Punkt K_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt L_1 Punkt L_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt L_1 Punkt L_1: Vieleck(R, Q, 9) Punkt M_1 Punkt M_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt M_1 Punkt M_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt N_1 Punkt N_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt N_1 Punkt N_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt O_1 Punkt O_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt O_1 Punkt O_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt P_1 Punkt P_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt P_1 Punkt P_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt Q_1 Punkt Q_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt Q_1 Punkt Q_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt R_1 Punkt R_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt R_1 Punkt R_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt S_1 Punkt S_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt S_1 Punkt S_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt T_1 Punkt T_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt T_1 Punkt T_1: Vieleck(R, Q, 10) Punkt U_1 Punkt U_1: Vieleck(R, Q, 11) Punkt U_1 Punkt U_1: Vieleck(R, Q, 11) Punkt V_1 Punkt V_1: Vieleck(R, Q, 11) Punkt V_1 Punkt V_1: Vieleck(R, Q, 11) Punkt W_1 Punkt W_1: Vieleck(R, Q, 11) Punkt W_1 Punkt W_1: Vieleck(R, Q, 11) Punkt Z_1 Punkt Z_1: Vieleck(R, Q, 11) Punkt Z_1 Punkt Z_1: Vieleck(R, Q, 11) Punkt A_2 Punkt A_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt A_2 Punkt A_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt B_2 Punkt B_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt B_2 Punkt B_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt C_2 Punkt C_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt C_2 Punkt C_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt D_2 Punkt D_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt D_2 Punkt D_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt E_2 Punkt E_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt E_2 Punkt E_2: Vieleck(R, Q, 11) Punkt F_2 Punkt F_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt F_2 Punkt F_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt G_2 Punkt G_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt G_2 Punkt G_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt H_2 Punkt H_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt H_2 Punkt H_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt I_2 Punkt I_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt I_2 Punkt I_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt J_2 Punkt J_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt J_2 Punkt J_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt K_2 Punkt K_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt K_2 Punkt K_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt L_2 Punkt L_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt L_2 Punkt L_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt M_2 Punkt M_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt M_2 Punkt M_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt N_2 Punkt N_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt N_2 Punkt N_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt O_2 Punkt O_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt O_2 Punkt O_2: Vieleck(R, Q, 12) Punkt P_2 Punkt P_2: Vieleck(R, Q, 6) Punkt P_2 Punkt P_2: Vieleck(R, Q, 6) Punkt Q_2 Punkt Q_2: Vieleck(R, Q, 6) Punkt Q_2 Punkt Q_2: Vieleck(R, Q, 6) Punkt R_2 Punkt R_2: Vieleck(R, Q, 6) Punkt R_2 Punkt R_2: Vieleck(R, Q, 6) Punkt S_2 Punkt S_2: Vieleck(R, Q, 6) Punkt S_2 Punkt S_2: Vieleck(R, Q, 6) Punkt T_2 Punkt T_2: Vieleck(R, Q, 5) Punkt T_2 Punkt T_2: Vieleck(R, Q, 5) Punkt U_2 Punkt U_2: Vieleck(R, Q, 5) Punkt U_2 Punkt U_2: Vieleck(R, Q, 5) Punkt V_2 Punkt V_2: Vieleck(R, Q, 5) Punkt V_2 Punkt V_2: Vieleck(R, Q, 5) Punkt W_2 Punkt W_2: Vieleck(R, Q, 4) Punkt W_2 Punkt W_2: Vieleck(R, Q, 4) Punkt Z_2 Punkt Z_2: Vieleck(R, Q, 4) Punkt Z_2 Punkt Z_2: Vieleck(R, Q, 4) Punkt A_3 Punkt A_3: Vieleck(R, Q, 3) Punkt A_3 Punkt A_3: Vieleck(R, Q, 3)

Polygon
Gleichseitiges Polygon
Gleichwinkeliges Polygon
Regelmäßiges Polygon
Umfang regelmäßiges Polygon
Winkelsumme regelmäßiges Polygon
Flächeninhalt regelmäßiges Polygon
Diagonale regelmäßiges Polygon
Inkreis regelmäßiges Polygon
Umkreis regelmäßiges Polygon
Konvexes n-Eck
Konkaves n-Eck

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