Werbung für Region 4
Polygone
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
Polygon
Ein Polygon, auch n-Eck oder Vieleck genannt, ist eine ebene geometrische Figur, die durch einen in sich geschlossenen Streckenzug aus n Seiten und n Ecken gebildet wird. Das einfachste Polygon, das Dreieck, wird aus drei Strecken und drei Ecken gebildet. Da Polygone jede beliebige Figur annehmen können, kann es daher keine allgemeinen Formeln geben, abseits von
Anzahl der Seiten = Anzahl der Ecken
Gleichseitiges Polygon
Ein gleichseitiges Polygon hat lauter gleich lange Seiten, aber unterschiedlich große Winkel
Illustration von einem gleichseitigen Polygon
Gleichwinkeliges Polygon
Ein gleichwinkeliges Polygon hat lauter gleich große Winkel, aber unterschiedlich lange Seiten
Illustration von einem gleichwinkeligen Polygon
Regelmäßiges Polygon
Ein Vieleck (n Eck) heißt regelmäßig, wenn dessen \(n \geqslant 3\) Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel und alle Außenwinkel gleich groß sind. Ein regelmäßiges Vieleck ist daher gleichseitig und gleichwinkelig.
\(\eqalign{ & a = b = c = ... \cr & \alpha = \beta = \gamma = .. \cr} \)
- Jedes regelmäßige Vieleck hat einen Um- und einen Inkreis, die jeweils den gleichen Mittelpunkt M haben.
- Verbindet man den Mittelpunkt M mit den n Ecken, so entstehen n kongruente gleichschenkelige Dreiecke
Umfang vom regelmäßigen Polygon
Der Umfang vom regelmäßigen Vieleck errechnet sich aus Seitenanzahl mal Seitenlänge
\(U = n \cdot a\)
Winkelsumme im regelmäßigen Polygon
An jeder Ecke im regelmäßigen Vieleck ergänzen sich der Innen- und der Außenwinkel auf 180°.
\(\alpha + \alpha ' = 180^\circ \)
Die Winkelsumme im regelmäßigen Vieleck ergibt sich aus der um zwei reduzierten Anzahl an Ecken mal 180°
\(\left( {n - 2} \right) \cdot 180^\circ \)
Der Innenwinkel im regelmäßigen Vieleck ergibt sich aus der Winkelsumme im regelmäßigen Vieleck dividiert durch die Anzahl der Ecken
\(\alpha = \dfrac{{n - 2}}{n} \cdot 180^\circ \)
Die Außenwinkel im regelmäßigen Vieleck ergeben sich aus dem Vollkreis dividiert durch die Anzahl der Ecken
\(\alpha ' = \dfrac{{360^\circ }}{n}\)
Flächeninhalt vom regelmäßigen Polygon
Der Flächeninhalt vom regelmäßigen Vieleck errechnet sich aus der Summe der Fläche des Bestimmungsdreiecks
\(A = \dfrac{{n \cdot a \cdot {r_i}}}{2} = \dfrac{{n \cdot {r_u}^2}}{2} \cdot \sin \left( {\dfrac{{2\pi }}{n}} \right)\)
Länge der Diagonalen im regelmäßigen Polygon
Von jeder Ecke im regelmäßigen Vieleck gehen n-3 Diagonalen aus. Die Länge der k-ten Diagonale errechnet sich wir folgt:
\({d_k} = a \cdot \sin \left( {\dfrac{{\left( {k + 1} \right) \cdot \pi }}{n}} \right) \cdot \csc \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Inkreisradius vom regelmäßigen Polygon
Der Inkreisradius vom regelmäßigen Vieleck ist das Produkt aus der halben Seitenlänge und dem Kotangens von π geteilt durch n
\({r_i} = \dfrac{a}{2} \cdot \cot \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Umkreisradius vom regelmäßigen Polygon
Der Umkreisradius vom regelmäßigen Vieleck ist das Produkt aus der halben Seitenlänge und dem Kosekans von π geteilt durch n
\({r_u} = \dfrac{a}{2} \cdot \csc \left( {\dfrac{\pi }{n}} \right)\)
Illustration vom regelmäßigen Dreieck bis zum regelmäßigen 12-Eck
Werbung für Region 4
Beat-the-Clock-Tests
Prüfungsvorbereitung unter simuliertem Zeitdruck
Nach der Prüfung in Ruhe entspannen
