Pyramide
Formel
Pyramide
Eine Pyramide wird nach dem n-Eck benannt, welches die Grundfläche der Pyramide bildet. Jede Pyramide hat eine Spitze, auf die alle n Seitenflächen der Pyramide zulaufen. Die Höhe der Pyramide entspricht dem Normalabstand von der Spitze zur Grundfläche der Pyramide.
- Ist die Grundfläche ein Dreieck, so handelt es sich um eine dreiseitige Pyramide.
- Ist die Grundfläche ein Viereck, so handelt es sich um eine vierseitige Pyramide
- Ist die Grundfläche ein n-Eck, so handelt es sich um eine n-seitige Pyramide
Illustration vom Netz einer dreiseitigen Pyramide
Das Netz einer dreiseitigen Pyramide erhält man, wenn man die drei Seitenflächen in die Ebene der Grundfläche ABC dreht. Benachbarte Seitenflächen haben eine gemeinsame Kante (s1, s2, s3)
Die Illustration zeigt links die Pyramide von schräg oben betrachtet und rechts daneben das Netz der Pyramide
Regelmäßige Pyramide
Eine regelmäßige Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der eine Spitze hat, auf die alle n Seitenflächen der Pyramide zulaufen.
Gerade Pyramide
Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein n-Eck ist und der eine Spitze hat, die senkrecht über dem Mittelpunkt vom n-Eck liegt
Regelmäßige gerade Pyramide
Eine regelmäßige gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist und der eine Spitze hat, die senkrecht über dem Mittelpunkt vom regelmäßigen n-Eck liegt
\(\eqalign{ & V = \dfrac{{G \cdot h}}{3} \cr & O = G + M \cr}\)
Illustration einer regelmäßigen 6-eckigen geraden Pyramide
Quadratische gerade Pyramide
Eine gerade quadratische Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein Quadrat ist und dessen Mantelfläche aus 4 gleichschenkeligen kongruenten Dreiecken besteht. Der Mittelpunkt der Grundfläche, ist zugleich der Fußpunkt der Pyramidenhöhe h.
\(\eqalign{ & O = G + M = {a^2} + 4a\dfrac{{{h_a}}}{2} \cr & V = G\dfrac{h}{3} = {a^2}\dfrac{h}{3} \cr & h_a^2 = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + {h^2}\,\,\,\,\,(PL) \cr & {s^2} = {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} + h_a^2\,\,\,\,\,(PL) \cr}\)
Illustration einer quadratischen geraden Pyramide
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Wissenspfad
Zur aktuellen Lerneinheit empfohlenes Vorwissen
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Aktuelle Lerneinheit
| Pyramide | Eine gerade Pyramide ist ein Körper, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist. Die Spitze der Pyramide liegt senkrecht über dem Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks |
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| Euklidische und nichteuklidische Geometrie | Ziel ist eine Beschreibung vom Raum durch primitive Größen wie Punkt oder Gerade |
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| Kreis und Gerade | Eine Sehne ist jener Teil einer Geraden (also eine Strecke), die einen Kreis in 2 Punkten schneidet, wobei der eine Schnittpunkt der Anfang und der andere Schnittpunkt das Ende der Strecke ist |
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| Kegelstumpf | Ein Kegelstumpf ist der verbleibende Körper, nachdem man von einem Kegel die Spitze abgeschnitten hat |
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| Zylinder | Ein Zylinder ist ein Körper dessen Grund- und Deckfläche flächengleiche Kreise sind und dessen Mantellinie auf die Grund- und Deckfläche normal steht. |
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| Würfel | Ein Würfel ist ein Körper der von 6 Quadraten begrenzt wird. |
| Kreis | Jene Linie die einen Kreis bildet, setzt sich aus der Menge all jener Punkte der Ebene zusammen, die von einem Punkt, dem Kreismittelpunkt, den gleichen Abstand hat |
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| Trapez | Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zumindest zwei einander gegenüberliegende Seiten parallel sind |
| Parallelogramm bzw. Rhomboid | Das Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die einander gegenüber liegenden Seiten zu einander parallel sind |
| Rechteck | Ein Rechteck ist ein Viereck bei dem alle Innenwinkel rechte Winkel sind |
| Deltoid (Drachenviereck) | Ein Deltoid ist ein Viereck, bei dem mindestens eine Diagonale eine Symmetrieachse ist, bzw das zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten besitzt. |
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| Quadrat | Das Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind |
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| Gleichseitiges Dreieck | Beim gleichseitigen Dreieck handelt es sich um ein Dreieck mit drei gleichlangen Seiten |
| Gleichschenkeliges Dreieck | Ein gleichschenkeliges Dreieck ist ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten, den sogenannten Schenkeln und einer Basis |
| Allgemeines Dreieck | Verbindet man drei beliebige, nicht auf einer Geraden liegende Punkte durch Strecken, so erhält man ein allgemeines Dreieck |
| Winkelmaße | Die Weite, des von zwei einander schneidenden Geraden eingeschlossene Winkels, kann man u.a. mit dem Grad- und dem Bogenmaß messen |
Aufgaben zu diesem Thema
Aufgabe 1620
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 7. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Pyramide
Die Oberfläche einer regelmäßigen quadratischen Pyramide kann als Funktion O in Abhängigkeit von der Länge der Grundkante a und der Höhe der Seitenfläche h1 aufgefasst werden. Es gilt: \(O\left( {a,{h_1}} \right) = {a^2} + 2 \cdot a \cdot {h_1}\) wobei \(a \in {{\Bbb R}^ + }\) und \({h_1} > \dfrac{a}{2}\)
Aufgabenstellung
Gegeben sind sechs Aussagen zur Oberflache von regelmäßigen quadratischen Pyramiden. Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!
- Aussage 1: Ist h1 konstant, dann ist die Oberflache direkt proportional zu a.
- Aussage 2: Ist a konstant, dann ist die Oberflache direkt proportional zu h1.
- Aussage 3: Für a = 1 cm ist die Oberflache sicher grösser als 2 cm2.
- Aussage 4: Für a = 1 cm ist die Oberflache sicher kleiner als 10 cm2.
- Aussage 5: Werden sowohl a als auch h1 verdoppelt, so wird die Oberflache verdoppelt.
- Aussage 6: Ist h1 = a2, dann kann die Oberfläche durch eine Exponentialfunktion in Abhängigkeit von a beschrieben werden.
Aufgabe 6014
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Betrachtet wird die Pyramide ABCDS mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 4 | 2) , C(8 | 0 | 2), D(4 | -4 | 0) und S(1|1| -4) . Die Grundfläche ABCD ist ein Parallelogramm.
Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ABCD ein Rechteck ist.
Die Kante \(\left[ {AS} \right]\) senkrecht auf der Grundfläche ABCD. Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(24 \cdot \sqrt 2 \)
Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.