Aufgabe 93
Einheitsvektor ermitteln
Ermittle den Einheitsvektor zu
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right)\)
Lösungsweg
Der Einheitsvektor \( \overrightarrow {{r_0}}\), hat dieselbe Richtung wie der Vektor \( \overrightarrow r\), seine Länge wurde aber auf 1 normiert.
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right)\)
Gemäß der Formel für den Betrag bzw. die Länge eines Vektors gilt:
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{a_x}^2 + {a_y}^2} \)
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {36 + 64} = \sqrt {100} = 10\)
Gemäß der Formel für dem Einheitsvektor gilt:
\(\overrightarrow {{a_0}} = \dfrac{{\overrightarrow a }}{{\left| a \right|}}\,\,\,\,\,{\text{mit}}\,\,\,\left| {\overrightarrow a } \right| \ne 0\)
\(\eqalign{ & {a_0} = {{\left( {\matrix{ 6 \cr 8 \cr } } \right)} \over {10}} = \left( {\matrix{ {{6 \over {10}}} \cr {{8 \over {10}}} \cr } } \right) \cr & {a_0} = \left( {\matrix{ {{3 \over 5}} \cr {{4 \over 5}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {0,6} \cr {0,8} \cr } } \right) \cr}\)
Probe:
\(\left| {{a_0}} \right| = \sqrt {{{0,6}^2} + {{0,8}^2}} = \sqrt {0,36 + 0,64} = \sqrt 1 = 1\,\,\,\,w.z.b.w\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({a_0} = \left( {\matrix{ {0,6} \cr {0,8} \cr } } \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.