Mengenalgebra

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

Diagramm 1: 

Diagramm 2: 

Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

• Ereignis M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“
• Ereignis S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“
• Ereignis E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen 1 bis 6 jeweils das Ereignis E beschreiben.

• Menge 1: \(M \cap S\)
• Menge 2: \(M \cup S\)
• Menge 3: \(\overline {M \cup S} \)
• Menge 4: \(\left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right) \cup \left( {\overline M \cap \overline S } \right)\)
• Menge 5: \(\left( {M \cap S} \right) \cup \left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right)\)
• Menge 6: \(\overline {M \cap S} \)

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

• p1 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.
• p2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel

4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit P_S(M) .

5. Teilaufgabe d) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Schraffieren Sie in der Abbildung die Fläche, die dem Ereignis \(\overline M \cap S\) entspricht.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Lego - Aufgabe B_409

Teil d
Legosteine unterscheiden sich in der Farbe und in der Anzahl der Noppen. Es gelten folgende Bezeichnungen:

• N … Menge aller Legosteine mit genau 6 Noppen
• R … Menge aller Legosteine, die rot sind

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie die Bedeutung der Menge N ∩ R im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie die Bedeutung der Menge R \ N im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

Diagramm 1: 

Diagramm 2: 

Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

• Ereignis M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“
• Ereignis S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“
• Ereignis E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen 1 bis 6 jeweils das Ereignis E beschreiben.

• Menge 1: \(M \cap S\)
• Menge 2: \(M \cup S\)
• Menge 3: \(\overline {M \cup S} \)
• Menge 4: \(\left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right) \cup \left( {\overline M \cap \overline S } \right)\)
• Menge 5: \(\left( {M \cap S} \right) \cup \left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right)\)
• Menge 6: \(\overline {M \cap S} \)

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

• p1 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.
• p2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel

4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit P_S(M) .

5. Teilaufgabe d) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Schraffieren Sie in der Abbildung die Fläche, die dem Ereignis \(\overline M \cap S\) entspricht.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Studienabschlüsse - Aufgabe B_450

Teil a

Mehrere Personen wurden befragt, warum sie ihr Studium nicht abgeschlossen haben. Zur Auswahl standen folgende 3 Grunde: „Zeitprobleme“, „private Gründe“ und „fachliche Defizite“.

Mehrfachnennungen waren möglich. Die Ergebnisse der Befragung von 76 Personen sind im nachstehenden Venn-Diagramm dargestellt.

Bild

• Z ... Menge aller Personen, die Zeitprobleme angegeben haben
• P ... Menge aller Personen, die private Grunde angegeben haben
• F ... Menge aller Personen, die fachliche Defizite angegeben haben

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Beschreiben Sie die Menge (F ∩ Z) \ P im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie, wie viele Personen genau 1 der 3 Gründe angegeben haben.
[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kennzeichnen Sie im nachstehenden Venn-Diagramm die Menge derjenigen Personen, die sowohl Zeitprobleme als auch private Grunde als auch fachliche Defizite angegeben haben.
[1 Punkt]

Bild

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Weihnachtsmarkt - Aufgabe B_479

Teil a

Auf einem Weihnachtsmarkt werden Lebkuchensterne, Marmelade und Socken verkauft. Während des ersten Tages wurden 25 Personen bedient. Jede dieser Personen kaufte mindestens ein Produkt.

• 6 Personen kauften sowohl Marmelade als auch Lebkuchensterne, aber keine Socken.
• 8 Personen kauften Socken.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Vervollständigen Sie das nachstehende Venn-Diagramm durch Eintragen der fehlenden Werte in die dafür vorgesehenen Kästchen.

[1 Punkt]

Bild

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Markieren Sie im nebenstehenden Venn-Diagramm die Menge (L ∩ S) \ M.

[1 Punkt]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Beschreiben Sie die Menge (L ∩ S) \ M im gegebenen Sachzusammenhang.

[1 Punkt]

4 . Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Auch für die folgenden Tage wurden Venn-Diagramme erstellt. Ordnen Sie den beiden Venn-Diagrammen jeweils die passende Aussage aus A bis D zu.

[2 zu 4] [1 Punkt]

• 1. Venn-Diagramm
  Bild

  
• 2. Venn-Diagramm
  
  Bild

  

  ---

   

• Aussage A: Es gab mehr Personen, die genau 2 verschiedene Produkte kauften, als Personen, die nur Lebkuchensterne kauften.
• Aussage B: Es gab gleich viele Personen, die sowohl Socken als auch Lebkuchensterne kauften, wie Personen, die nur Marmelade kauften.
• Aussage C: Es gab mehr Personen, die alle 3 Produkte kauften, als Personen, die nur Marmelade kauften.
• Aussage D: Es gab weniger Personen, die sowohl Lebkuchensterne als auch Socken kauften, als Personen, die sowohl Marmelade als auch Socken kauften.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kinderlieder - Aufgabe B_511

Eine Pädagogin fragt die 26 Kinder ihrer Gruppe, ob sie das Kinderlied "Aramsamsam" und ob sie das Kinderlied "Backe, backe Kuchen" kennen.

• 7 Kinder kennen beide Kinderlieder.
• Insgesamt 13 Kinder kennen das Kinderlied Aramsamsam.
• 3 Kinder kennen keines der beiden Kinderlieder.

Teil c

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Vervollständigen Sie das nachstehende Venn-Diagramm durch Eintragen aller Anzahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen.

[0 / 1 P.]

Bild

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die Anzahl der Elemente der Menge \(\left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cap B} \right)\)

[0 / 1 P.]

Mit den Kindern, denen beide Kinderlieder bekannt sind, singt die Pädagogin das bis dahin allen Kindern der Gruppe unbekannte Kinderlied "Twinkle, twinkle, little star".

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Aussage 1: \(T \subseteq \left( {A \cup B} \right)\)
• Aussage 2: \(T \subseteq \left( {A \cap B} \right)\)
• Aussage 3: \(T \subseteq \left( {G\backslash B} \right)\)
• Aussage 4: \(T{\not \subseteq }\left( {B\backslash A} \right)\)
• Aussage 5: \(T{\not \subseteq }\left( {A\backslash B} \right)\)

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kino - Aufgabe B_519

Teil a

Personen, die ein Kino besuchen, können Geld für 3 verschiedene Bereiche ausgeben:

• K … Menge der Personen, die für das Kinoticket Geld ausgeben
• P … Menge der Personen, die für das Parkticket Geld ausgeben
• V … Menge der Personen, die für die Verpflegung Geld ausgeben

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Ordnen Sie den beiden Mengen jeweils die zutreffende Beschreibung aus A bis D zu.

[0 / 1 P.]

• Menge 1:
• Menge 2:

• Beschreibung A: Menge der Personen, die nur für das Kinoticket Geld ausgeben
• Beschreibung B: Menge der Personen, die für das Kinoticket Geld ausgeben
• Beschreibung C: Menge der Personen, die sowohl für das Kinoticket als auch für das Parkticket Geld ausgeben
• Beschreibung D: Menge der Personen, die entweder für das Kinoticket oder für das Parkticket oder für beides Geld ausgeben

Die Ergebnisse einer Befragung sind im nachstehenden Venn-Diagramm dargestellt.

Bild

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Beschreiben Sie die Bedeutung der Zahl 12 im obigen Venn-Diagramm im gegebenen Sachzusammenhang.

[0 / 1 P.]

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Berechnen Sie, wie viel Prozent der befragten Personen in der Menge K ∩ P ∩ V enthalten sind.

[0 / 1 P.]

Aufgaben zur Mengenlehre

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Schreibe die Elemente an, die in den jeweiligen Mengen enthalten sind.

\(\eqalign{ & {M_1} = \left\{ {x \in {N^ + }|x < 7} \right\} \cr & {M_2} = \left\{ {x \in N|7 < x \leqslant 9} \right\} \cr & {M_3} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < 2} \right\} \cr & {M_4} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x} \right\} \cr & {M_5} = \left\{ {x \in Z| - 3 < x < - 2} \right\} \cr & {M_6} = \left\{ {x \in N|8 \leqslant x \leqslant 9} \right\} \cr} \)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Setze das gegebene Element in Beziehung zur Menge unter Verwendung von \( \in ,\,\, \notin ,\,\, \subset ,\,\, \subseteq \)

\(\eqalign{ & 2\_?\_{M_1} \cr & 7\_?\_{M_1} \cr & 2\_?\_{M_5} \cr & {M_3}\_?\_{M_4} \cr & {M_2}\_?\_{M_6} \cr} \)

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Schreibe die Durchschnittsmenge an

\(\eqalign{ & {M_1} \cap {M_2} \cr & {M_1} \cap {M_3} \cr & {M_1} \cap {M_4} \cr & {M_3} \cap {M_4} \cr & {M_4} \cap {M_6} \cr} \)

4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Schreibe die Vereinigungsmenge an

\(\eqalign{ & {M_1} \cup {M_2} \cr & {M_2} \cup {M_3} \cr & {M_5} \cup {M_6} \cr & {M_4} \cup {M_6} \cr & {M_1} \cup {M_4} \cr} \)

5. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40

Schreibe die Differenzmenge an

\(\eqalign{ & {M_1}\backslash {M_2} \cr & {M_1}\backslash {M_3} \cr & {M_3}\backslash {M_1} \cr & {M_2}\backslash {M_5} \cr & {M_4}\backslash {M_3} \cr} \)

AHS - 1_098 & Lehrstoff: FA 1.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Funktionswerte

Gegeben ist der Graph der Funktion f mit \(f\left( x \right) = \dfrac{9}{{{x^2}}}\)

Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie alle Werte, die x annehmen kann, wenn f(x) das Intervall [1; 9] durchläuft!

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.

Diagramm 1: 

Diagramm 2: 

Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:

• Ereignis M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon.“
• Ereignis S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter.“
• Ereignis E: „Mindestens eines der Ereignisse M und S tritt ein.“

1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen 1 bis 6 jeweils das Ereignis E beschreiben.

• Menge 1: \(M \cap S\)
• Menge 2: \(M \cup S\)
• Menge 3: \(\overline {M \cup S} \)
• Menge 4: \(\left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right) \cup \left( {\overline M \cap \overline S } \right)\)
• Menge 5: \(\left( {M \cap S} \right) \cup \left( {M \cap \overline S } \right) \cup \left( {\overline M \cap S} \right)\)
• Menge 6: \(\overline {M \cap S} \)

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

• p1 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.
• p2 ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.

3. Teilaufgabe c.1) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% eintritt, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel

4. Teilaufgabe c.2) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit P_S(M) .

5. Teilaufgabe d) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20

Schraffieren Sie in der Abbildung die Fläche, die dem Ereignis \(\overline M \cap S\) entspricht.

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wiener Öffis - Aufgabe B_187

Wien betreibt das fünftgrößte Straßenbahnnetz weltweit und das fünftgrößte U-Bahn-Netz in der Europäischen Union. 

Teil b

Im Folgenden ist ein kleiner Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes abgebildet:

Bild

Die Mengen der Haltestellen der Linien U1, U2 und U4, die in diesem Ausschnitt dargestellt sind, werden mit U1, U2 bzw. U4 bezeichnet.

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Tragen Sie in jeden Teilbereich des nachstehenden Diagramms die entsprechende Anzahl an Haltestellen für den abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes ein.
[1 Punkt]

Bild

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Geben Sie die Namen derjenigen Haltestellen an, die in der folgenden Menge liegen:

U1 \ (U2 ∪ U4)
[1 Punkt]

Aus dem abgebildeten Ausschnitt des Wiener U-Bahn-Netzes wird eine Haltestelle zufällig ausgewählt.

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um eine Haltestelle handelt, die an mehr als einer U-Bahn-Linie liegt.
[1 Punkt]

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Kinderlieder - Aufgabe B_511

Eine Pädagogin fragt die 26 Kinder ihrer Gruppe, ob sie das Kinderlied "Aramsamsam" und ob sie das Kinderlied "Backe, backe Kuchen" kennen.

• 7 Kinder kennen beide Kinderlieder.
• Insgesamt 13 Kinder kennen das Kinderlied Aramsamsam.
• 3 Kinder kennen keines der beiden Kinderlieder.

Teil c

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Vervollständigen Sie das nachstehende Venn-Diagramm durch Eintragen aller Anzahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen.

[0 / 1 P.]

Bild

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Ermitteln Sie die Anzahl der Elemente der Menge \(\left( {A \cup B} \right)\backslash \left( {A \cap B} \right)\)

[0 / 1 P.]

Mit den Kindern, denen beide Kinderlieder bekannt sind, singt die Pädagogin das bis dahin allen Kindern der Gruppe unbekannte Kinderlied "Twinkle, twinkle, little star".

3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40

Kreuzen Sie die nicht zutreffende Aussage an.

[1 aus 5] [0 / 1 P.]

• Aussage 1: \(T \subseteq \left( {A \cup B} \right)\)
• Aussage 2: \(T \subseteq \left( {A \cap B} \right)\)
• Aussage 3: \(T \subseteq \left( {G\backslash B} \right)\)
• Aussage 4: \(T{\not \subseteq }\left( {B\backslash A} \right)\)
• Aussage 5: \(T{\not \subseteq }\left( {A\backslash B} \right)\)