Prüfungsvorbereitung Matura, Abitur und STEOP

AT Matura AHS Inhaltsbereich Wahrscheinlichkeit und Statistik

Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.

Wahrscheinlichkeit und Statistik

Es werden Begriffe, Darstellungsformen und grundlegende Verfahren der beschreibenden Statistik, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der schließenden Statistik behandelt. Es sollen eigenständig statistische Tabellen, Kennzahlen und Grafiken zur Beschreibung von Situationen geringer Komplexität aufgestellt werden. Bei der Wahrscheinlichkeit beschränkt man sich auf grundlegende Wahrscheinlichkeitsinterpretationen, auf grundlegende Begriffe (Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Dichte- und Verteilungsfunktion, Erwartungswert und Varianz/Standardabweichung) und Konzepte (Binomialverteilung, Normalverteilung) sowie einfachste Wahrscheinlichkeitsberechnungen. Von den zwei grundlegenden Konzepten der schließenden Statistik, dem Testen von Hypothesen und der Hochrechnung (Konfidenzintervall), ist die Hochrechnung von besonderer Bedeutung.

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

AT Matura AHS Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten

Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.

Funktionale Abhängigkeiten

Wenn Expertinnen und Experten Mathematik verwenden, bedienen sie sich oftmals des Werkzeugs der Funktionen. Das meint die Aufmerksamkeit auf die Beziehung zwischen zwei (oder mehreren) Größen in unterschiedlichen Kontexten fokussieren zu können sowie die gängigen Darstellungsformen zu kennen und mit ihnen flexibel umgehen zu können. Im Zentrum des mathematischen Grundwissens steht dann das Kennen der für die Anwendungen wichtigsten Funktionstypen: Namen und Gleichungen kennen, typische Verläufe von Graphen (er)kennen, zwischen den Darstellungsformen wechseln, charakteristische Eigenschaften wissen und im Kontext deuten (können).

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

AT Matura AHS Inhaltsbereich Analysis

Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.

Analysis

Die Analysis stellt Konzepte zur formalen, kalkulatorischen Beschreibung von diskretem und stetigem Änderungsverhalten bereit. Die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient sind allgemeine mathematische Mittel, dieses Änderungsverhalten von Größen in unterschiedlichen Kontexten quantitativ zu beschreiben. Neben der Differentialrechnung wird auch die Integralrechnung behandelt.

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

AT Matura AHS Inhaltsbereich Algebra und Geometrie

Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.

Algebra und Geometrie

Algebra ist die Sprache der Mathematik. Eingegangen wird auf Zahlenbereiche, Variablen, Terme, Gleichungen (Formeln) und Ungleichungen sowie Gleichungssysteme. Der Zahlenbegriff wird auf Zahlentupel (Vektoren) und deren Verknüpfung erweitert. Durch die Einführung von Koordinaten ist es möglich, Punkte in der Ebene oder im Raum so zu verorten, dass geometrische Objekte algebraisch durch Vektoren beschrieben werden können, und sich so von rein geometrisch-anschaulichen Betrachtungsweisen (mit Winkel, Länge oder Volumen) lösen und geometrische Probleme mithilfe der Algebra behandelt werden können. Dieser Zusammenhang zwischen Algebra und Geometrie ermöglicht es aber nicht nur, geometrische Sachverhalte mit algebraischen Mitteln darzustellen (z. B. Vektoren als algebraische Darstellung von Pfeilen oder Punkten) und zu bearbeiten, sondern auch umgekehrt algebraische Sachverhalte geometrisch zu deuten (z.B. Zahlentripel als Punkte oder Pfeile im Raum) und daraus neue Einsichten zu gewinnen.In der Trigonometrie interessieren vor allem Beziehungen im rechtwinkeligen Dreieck, allenfalls Erweiterungen auf allgemeine Dreiecke.

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 1.1

Grundbegriffe der Algebra

AG 1.1: Wissen über die Zahlenmengen, -bereiche ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, ℂ verständig einsetzen können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Standard-Zahlenmengen“ kennen.

Die einzelnen Mengen bauen aufeinander auf, wobei jede Zahlenmenge in der nächstgrößeren Zahlenmenge vollkommen enthalten ist. Alle Zahlen gehören einer oder mehreren der nachfolgenden Standard-Zahlenmengen an.

Bild

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)

Natürliche Zahlen

\(\mathbb{N} = \left\{ {0,1,2,3,...} \right\}\) 
Null, sowie alle positiven ganzen Zahlen (Äpfel im Korb). Beachte: \(0,\mathop 9\limits^ \bullet = 1 \in N\)

Ganze Zahlen

\(\mathbb{Z} = \left\{ {..., - 2, - 1,0,1,2,...} \right\}\)
Alle positiven und negativen ganzen Zahlen (Temperatur)

Rationale Zahlen

\(\mathbb{Q} = \left\{ {\dfrac{p}{q}\,\,\left| {p \in \mathbb{Z},\,q \in {\mathbb{N}^{{\text{ ohne }}0}}} \right.} \right\}\)

Alle positiven oder negativen Zahlen, die sich als Quotient (als Bruch) darstellen lassen, wobei sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen stehen. Umgekehrt können diese Brüche wiederum durch Division des Zählers durch den Nenner, als endliche oder als periodische Dezimalzahlen dargestellt werden.

Irrationale Zahlen

\(\mathbb{I} = \dfrac{\mathbb{R}}{\mathbb{Q}}\)

Alle positiven und negativen Kommazahlen, die grundsätzlich nicht als Bruch mit ganzen Zahlen im Zähler und im Nenner dargestellt werden können, wie \(\sqrt 2 ,\,\pi \).
(Anmerkung: Als allgemeinen Bruch kann man sie schon darstellen: \(\pi = \dfrac{\pi }{1}\)

Reelle Zahlen

\(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\)

Die Summe aus den rationalen und irrationalen Zahlen. Bilden den Realteil der komplexen Zahlen. (Technik)

Imaginäre Zahlen

\(ib\)

Eine komplexe Zahl, deren Realteil null ist, zugleich eine komplexe Zahl, deren Quadrat eine nicht positive reelle Zahl ist. Die imaginären Zahlen bilden den Imaginärteil einer komplexen Zahl.

Komplexe Zahlen

\(\mathbb{C} = \left\{ {z = a + ib\,\,\left| {a,b \in \mathbb{R},\,{i^2} = - 1} \right.} \right\}\)

Zahlenpaare, die sich aus einem Real- und einem Imaginärteil zusammensetzen und die nicht mehr nur am gaußschen Zahlenstrahl, sondern in der gaußschen Ebene liegen.

Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 1.2

Grundbegriffe der Algebra

AG 1.2: Wissen über algebraische Begriffe angemessen einsetzen können: Variable, Terme, Formeln, (Un-) Gleichungen, Gleichungssysteme, Äquivalenz, Umformungen, Lösbarkeit

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „algebraische Begriffe“ kennen.

Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:

• Definitionsbereich der Logarithmusfunktion: \({D_f} = {{\Bbb R}^ + }\)
• Definitionsbereich der Wurzelfunktion: Die Wurzel kann im Bereich der reellen Zahlen nur von Werten größer gleich Null gezogen werden. \(\root n \of a = b \to a,b \in {{\Bbb R}^ + }\)
• Bei einem Bruch darf der Nenner nicht Null werden.
• Bei Gleichungen höheren Grades (x², xⁿ, …) darf man bei den Umformungen zur Lösungsfindung nicht durch die Variable x dividieren. Bei der Division durch x würde eine Lösung der Gleichung verloren gehen, daher ist eine Division durch x keine Äquivalenzumformung.
• Bei Ungleichungen muss man zwischen Äquivalenzumformungen ohne bzw. mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens unterscheiden. Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.

Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich​ AG 2.1

(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

AG 2.1: Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Terme und Formeln aufstellen und umformen“ kennen.

Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:

• Terme sind sinnvolle mathematische Ausdrücke, die aus Koeffizienten, Variablen, Klammern und Rechenzeichen, jedoch nicht aus Relationszeichen (=, <, >,…) bestehen. z.B.: \({\sin ^2}\left( \alpha \right) + {\cos ^2}\left( \alpha \right)\)
• Formeln sind allgemeingültige wissenschaftliche mathematische Formulierungen, meistens in Form einer Gleichung. \(E = m \cdot {c^2}\). Alle Formen setzen sich aus Termen zusammen.
• Ein Term „umformen“ macht nur dann Sinn, wenn der Term dadurch „vereinfacht“ oder „zusammengefasst“ wird. \(x + x + 2x \to 4x{\text{ oder }}x \cdot x \cdot 2x \to 2{x^3}\)
• Durch Äquivalenzumformungen wird die Gleichung so lange vereinfacht, bis die Variable allein auf einer Seite steht, also explizit gemacht wurde. Eine Äquivalenzumformung ändert die Lösung einer Gleichung nicht.
  • Die Division einer Gleichung höheren Grades durch die Variable x ist keine (!) Äquivalenzumformung, weil man dabei eine der Lösungen verliert! Die Anzahl der Lösungen entspricht dabei immer dem höchsten Grad der Gleichung.
• Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt. 
  • Addition bzw. Subtraktion sowie Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
  • Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.
• Doppelbruch auflösen: \(\dfrac{{\dfrac{{{Z_A}}}{{{N_I}}}}}{{\dfrac{{{Z_I}}}{{{N_A}}}}} = \dfrac{{{Z_A} \cdot {N_A}}}{{{N_I} \cdot {Z_I}}}\) Sprich: Außenglied mal Außenglied durch Innenglied mal Innenglied.
• Arithmetisches Mittel bzw. Durchschnitt: \(\bar x = \dfrac{{{x_1} + {x_2} + ...{x_n}}}{n} = \dfrac{1}{n}\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {x_i}\) Sprich: Summe aller Einzelwerte durch die Anzahl der Einzelwerte.
• Achtung bei gemischten Brüchen: \(A\dfrac{b}{c} = A + \dfrac{b}{c}{\text{ aber }}A\dfrac{b}{c} \ne A \cdot \dfrac{b}{c}\). Beispiel: \(2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{2} = \left( {2 + \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {3 + \dfrac{1}{2}} \right) = 2 + \dfrac{1}{2} + 3 + \dfrac{1}{2} = 6\)

Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.2

(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

AG 2.2: Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Gleichungen“ kennen.

Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:

• "Linearer Zusammenhang" assoziieren wir mit "Gleichung einer Geraden"
• \(y = k \cdot x + d\)
  • d ist immer der y-Wert an der Stelle x=0 (der sogenannte Ordinatenabschnitt)
  • k ist immer der Wert, um den der y-Wert zunimmt (k positiv) oder abnimmt (k negativ), wenn sich der x-Wert um 1 vergrößert.
• Geschwindigkeits-Zeit-Funktion: \(v = \dfrac{s}{t}{\text{ bzw}}{\text{.: v}}\left( t \right) = s'\left( t \right) = \dfrac{{ds}}{{dt}} = \int {a\left( t \right)} \,dt\)
• Beschleunigung mal einer Zeit ist eine Geschwindigkeit: \(a = \dfrac{v}{t} \to v = a \cdot t\)

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AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.3

(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

AG 2.3: Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Quadratische Gleichungen“ kennen. Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:

• Bei einer quadratischen Gleichung in Normalform ist der Koeffizient a vor dem quadratischen Glied eine "1". Darüber hinaus gibt es noch ein lineares und ein konstantes Glied.
• Bevor man die „abc“ bzw. die „pq“ Formel anwenden kann, muss man gegebenen Falls durch Umformung dafür sorgen, dass rechts vom Gleichheitszeichen eine „0“ steht.
• Für die rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels „abc Formel“, die auch „große Lösungsformel“ oder „Mitternachtsformel“ genannt wird, gilt:
  \(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr} \)
• Für die rechnerische Lösung einer quadratischen Gleichung in Normalform mittels „pq Formel“, die auch „kleine Lösungsformel“ genannt wird, gilt:
  \(\eqalign{ & {x^2} + px + q = 0 \cr & {x_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\frac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr & D = {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2} - q \cr} \)
• Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminante "D" 3 mögliche Lösungsfälle:
  • D > 0 → 2 Lösungen in \({\Bbb R}\)
  • D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in \({\Bbb R}\) mit \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}{\text{ bzw}}{\text{. }}{{\text{x}}_1} = {x_2} = - \dfrac{p}{2}\)
  • D < 0 → keine Lösung in \({\Bbb R}\) , aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in \({\Bbb C}\)
• Der Wurzelsatz von Vieta stellt den Zusammenhang zwischen den Variablen p und q auf der einen Seite und den Nullstellen z₁ und z₂ auf der anderen Seite dar. D.h. er bietet sich immer dann an, wenn die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung bekannt sind und man die Koeffizienten p und q bestimmen soll.
  \(\eqalign{ & p = - \left( {{z_1} + {z_2}} \right) \cr & q = {z_1} \cdot {z_2} \cr} \)

• Faktorisierte Darstellung einer (quadratischen) Gleichung

  • Bei der faktorisierten Darstellung einer Gleichung wird die Gleichung als Produkt dargestellt. Dabei sind die Nullstellen x₁, x₂ der zugrunde liegenden Funktion an geklammerten Termen sofort ablesbar. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
    \(f\left( x \right) = a \cdot \left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \to L\left\{ {{x_1},{x_2}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)

  • Im Sonderfall einer doppelten Nullstelle sieht die Darstellung der Funktion wie folgt aus:
    \(f\left( x \right) = a \cdot {\left( {x - {x_1}} \right)^2} \to L\left\{ {{x_1}} \right\}{\text{ mit }}a \ne 0\)
  • Von der faktorisierten Darstellung gelangt man durch ausmultiplizieren zur allgemeinen Form.
  • Von der allgemeinen Form gelangt man zur faktorisierten Form, indem man die Nullstellen der Gleichung ausrechnet und mit deren Hilfe dann die faktorisierte Form anschreibt.

Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.4

(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

AG 2.4: Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Ungleichungen“ kennen.

Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:

Äquivalenzumformung mit Umkehrung des Ungleichheitszeichens: 

Unter einer Äquivalenzumformung einer Ungleichung versteht man eine Umformung, die den Wahrheitswert der Ungleichung unverändert lässt. 

• Addition bzw. Subtraktion sowie Multiplikation bzw. Division mit einer positiven Zahl erfordern keine Umkehrung des Ungleichheitszeichens.
• Das Ungleichheitszeichen muss umgedreht werden, wenn man die Reihenfolge der Terme vertauscht oder wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert.

Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AG 2.5

(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme

AG 2.5: Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Lineare Gleichungssysteme (LGS)“ kennen.

Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:

•  Jede lineare Gleichung lässt sich als Gerade vom Typ \(y = k \cdot x + d\) darstellen. Da die Gleichungen linear sind, kommen nur Potenzen 1. Grades vor, also keine Quadrate oder höhere Potenzen.
• Lineare Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen bedeutet, dass zwei lineare Gleichungen vorliegen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen, wobei wir zwischen expliziter und impliziter Darstellung unterscheiden können
  \(\eqalign{
  & {\text{Gl}}{\text{.1: }}y = {k_1} \cdot x + {d_1} \buildrel \wedge \over =
  \to{=} {a_1} \cdot x + {b_1} \cdot y = {c_1} \cr
  & {\text{Gl}}{\text{.2: }}y = {k_2} \cdot x + {d_2} \buildrel \wedge \over =
  \to{=} {a_2} \cdot x + {b_2} \cdot y = {c_2} \cr
  & {k_{i = 1,2}} = - \dfrac{{{a_i}}}{{{b_i}}};\,\,\,\,\,{d_{i = 1,2}} = \dfrac{{{c_i}}}{{{b_i}}} \cr} \)
  • • Gibt es für ein lineares Gleichungssystem in zwei Variablen nur 1 Gleichung, ist das Gleichungssystem unterbestimmt, gibt es mehr als 2 Gleichungen, so ist das Gleichungssystem überbestimmt.
  • Ein sinnvoll lösbares LGS in zwei Variablen wird immer aus 2 Gleichungen bestehen, für die es folgende 3 Lösungsmöglichkeiten gibt: unendlich viele Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Nachfolgend eine geometrische Interpretation dafür:
  • Lagebeziehung zweier Geraden, die in einer Ebene liegen
  • Zwei Geraden sind identisch, wenn sie dieselbe Steigung k und denselben Ordinatenabschnitt d aufweisen. In diesem Fall sind die beiden Geraden deckungsgleich und es muss folgender Zusammenhang für einen konstanten Faktor Lambda für die beiden implizite Geradengleichungen gelten
    \(\eqalign{
    & {a_1} \cdot \lambda = {a_2} \cr
    & {b_1} \cdot \lambda = {b_2} \cr
    & {c_1} \cdot \lambda = {c_2} \cr} \)
  • • Zwei Gerade haben einen Schnittpunkt, wenn sie unterschiedliche Steigungen aufweisen
    • Zwei Gerade sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung k aber unterschiedliche Ordinatenabschnitt d aufweisen Da man für parallele Gerade keinen Schnittpunkt angeben kann, ist ihre Lösungsmenge die leere Menge.
  • Beim Additionsverfahren (Methode gleicher Koeffizienten) werden im 1. Schritt durch äquivalentes Umformen die Koeffizienten einer Variablen bis auf entgegengesetzte Vorzeichen gleich gemacht. Danach werden im 2. Schritt die Gleichungen addiert, wodurch die Variable wegfällt, deren Koeffizienten man zuvor gleich gemacht hat. Was bleibt ist eine Gleichung in einer Variablen, die man dadurch löst, dass man die verbliebene Variable explizit macht.
  • Beim Substitutionsverfahren (Einsetzungsmethode) wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst, d.h. diese Variable wird explizit gemacht. Der so entstandene Term wird in die andere Gleichung eingesetzt, wodurch diese Gleichung nur mehr eine Variable enthält und lösbar wird.
  • Beim Eliminationsverfahren (Gleichsetzungsmethode) werden beide Gleichungen nach derselben Variablen (x) aufgelöst. Danach werden die erhaltenen Terme gleichgesetzt, wodurch die Variable (x) nach der explizit gemacht wurde, verschwindet und nur mehr eine Gleichung in der verbleibenden Variablen (y) überbleibt.
  • Koeffizientenvergleich zur Lösung von LGS: Einem linearen Gleichungssysteme (LGS) in zwei Variablen entsprechen zwei lineare Gleichungen, die sich jeweils als Gerade darstellen lassen. Hat man die zusätzliche Information, dass die beiden Geraden 1) ident oder 2) parallel sind, so kann man durch Koeffizientenvergleich 1) die k und d Werte, bzw. 2) den k Wert aus der einen Gleichung für die andere Gleichung herleiten.

Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst

AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich​ AG 3.1

Vektoren

AG 3.1: Vektoren als Zahlentupel verständig einsetzen und im Kontext deuten können

Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021

In dieser Übungseinheit lernst du bisherige österreichische AHS Typ I Maturabeispiele zum Themenbereich „Vektoren als Zahlentupel“ kennen.

Folgendes musste man für die bisherigen Beispiele wissen:

• Vektor: \(\vec a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\) Der Vektor \(\overrightarrow a \) ist n-dimensional, denn er besteht aus n Komponenten. \(\overrightarrow a = \left( {{a_1},{a_2},...,{a_n}} \right)\). Die Schreibweise als Spalten- oder Zeilenvektor orientiert sich nur daran, welche Darstellung übersichtlicher ist.
• Ein Tupel stellt die Zusammenfassung von mehreren Komponenten zu einer Liste dar. Man verwendet runde Klammern und separiert die einzelnen Komponenten durch Beistriche. Die Reihenfolge, in der die Komponenten angeschrieben werden, spielt eine wesentliche Rolle.
• In einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem kann es zweckmäßig sein, einen Vektor nach rechts bzw. nach links zu kippen, d.h. um \( \pm 90^\circ \) zu drehen. Der so gekippte Vektor steht dann senkrecht auf dem ursprünglichen Vektor, d.h. er wird zum Normalvektor, auch Orthogonalvektor genannt.
  • Bei der Linkskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der oberen Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht. 
  • Bei der Rechtskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der unteren Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht.
• ​Subtraktion zweier Vektoren: Bei der Subtraktion von Vektoren werden die einzelnen Komponenten der Vektoren je Achsenrichtung subtrahiert. 
  \(\vec d = \vec a - \vec b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x} - {b_x}}\\ {{a_y} - {b_y}}\\ {{a_z} - {b_z}} \end{array}} \right)\)

Enthaltene Beispiele findest du, indem du die Aufgabennummer in den Suchslot eingibst