Aufgabe 6001
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Graph und Funktionsgleichung ganzrationaler Funktionen
Gegeben sind die in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen f, g und h mit
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^2} - x + 1 \cr & g\left( x \right) = {x^3} - x + 1 \cr & h\left( x \right) = {x^4} + {x^2} + 1 \cr} \)
Die unten stehende Abbildung zeigt den Graphen einer der drei Funktionen.
1. Teilaufgabe a.1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie an, um welche Funktion es sich handelt.
2. Teilaufgabe a.2) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass der Graph die anderen beiden Funktionen nicht darstellt.
Die erste Ableitungsfunktion von h ist h‘.
3. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Bestimmen Sie den Wert von \(\int\limits_0^1 {h'\left( x \right)\,\,dx} \).
Lösungsweg
1. Teilaufgabe a.1:
Wenn wir uns den Graphen der Funktion etwas in Richtung der negativen y-Achse verschoben vorstellen, dann hat die Funktion drei reelle Nullstellen und muss daher eine Funktion vom 3. Grad und somit die Funktion g(x) sein
→ Der Graph stellt die Funktion g(x) dar.
2. Teilaufgabe a.2:
f(x) ist eine quadratische Funktion und somit eine Parabel.
h(x) hat nur geradzahlige Exponenten (2, 4) und muss daher symmetrisch zur positiven y-Achse verlaufen. Dh für \(x \to \pm \infty \) müssen beide Enden vom Graph von h(x) gegen \( + \infty \) streben.
3. Teilaufgabe b:
Das bestimmte Integral entspricht der Stammfunktion von h‘(x) – also der gegebenen Funktion h(x) – zwischen den Grenzen 0 und 1:
\(\eqalign{ & h = \int\limits_0^1 {h'\left( x \right)\,\,dx} = \left[ {{x^4} + {x^2} + 1} \right]_0^1 = \cr & = \left( {{1^4} + {1^2} + 1} \right) - \left( {{0^4} + {0^2} + 1} \right) = 3 - 1 = 2 \cr & \cr & \int\limits_0^1 {h'\left( x \right)\,\,dx} = 2 \cr} \)
Der Wert des bestimmten Integrals beträgt 2
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der Graph stellt die Funktion g(x) dar.
2. Teilaufgabe:
f(x) ist eine Parabel.
h(x) muss symmetrisch zur positiven y-Achse verlaufen.
3. Teilaufgabe:
Der Wert des bestimmten Integrals beträgt 2