Aufgabe 6008

1. Teilaufgabe:

Wir bilden die 1. Ableitung der gegebenen Funktion:
\(\eqalign{ & {f_a}\left( x \right) = x \cdot {e^{a \cdot x}} \cr & {f_a}^\prime \left( x \right) = 1 \cdot {e^{a \cdot x}} + x \cdot a \cdot {e^{a \cdot x}} = {e^{a \cdot x}} \cdot \left( {1 + a \cdot x} \right) \cr} \)

Laut Aufgabenstellung muss die 1. Ableitung an der Stelle x=2 den Funktionswert 0 haben. Somit liegt eine Gleichung in einer Unbekannten a vor.
\({f_a}\left( {x = 2} \right) = {e^{2a}} \cdot \left( {1 + 2a} \right) = 0\)

Es liegt ein Produkt bestehend aus 2 Faktoren vor. Ein Produkt ist dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

• Der 1. Faktor \({e^{2a}} > 0\) kann nicht Null werden, weil eine Exponentialfunktion unabhängig vom Exponenten immer positiv ist
• Der 2. Faktor kann Null sein, dazu wir machen a explizit:
  \(\eqalign{ & \left( {1 + 2a} \right) = 0\,\,\,\,\,\left| { - 1\,\,\,\,\,\left| {:2} \right.} \right. \cr & a = - \dfrac{1}{2} = - 0,5 \cr} \)

→ Der gesuchte Faktor lautet: a=-0,5.

Wir machen die Probe:
\(\eqalign{ & {f_a}^\prime \left( x \right) = {e^{ - 0,2 \cdot x}} \cdot \left( {1 - 0,2 \cdot x} \right) \cr & {f_a}^\prime \left( {x = 2} \right) = {e^{ - 0,5 \cdot 2}} \cdot \left( {1 + ( - 0,5) \cdot 2} \right) = \cr & = {e^{ - 1}} \cdot \left( {1 + ( - 0,5) \cdot 2} \right) = {e^{ - 1}} \cdot 0 = 0\,\,\,\,\,{\text{wzbw}}{\text{.}} \cr} \)