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Aufgabe 6025

Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis​

Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst

Eine der Filialen der Handelskette befindet sich in einem Einkaufszentrum, das zu Werbezwecken die Erstellung einer Smartphone App in Auftrag geben will. Diese App soll die Kunden beim Betreten des Einkaufszentrums über aktuelle Angebote und Rabattaktionen der beteiligten Geschäfte informieren . Da dies mit Kosten verbunden ist, will der Finanzchef der Handelskette einer Beteiligung an der App nur zustimmen, wenn mindestens 15% der Kunden der Filiale bereit sind, diese App zu nutzen. Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der App zu verzichten, da dies zu einem Imageverlust führen könnte.

Um zu einer Entscheidung zu gelangen, will die Geschäftsführung der Handelskette eine der beiden folgenden Nullhypothesen auf der Basis einer Befragung von 200 Kunden auf einem Signifikanzniveau von 10% testen:

  • I  „Weniger als 15% der Kunden sind bereit, die App zu nutzen.“
  • II „Mindestens 15% der Kunden sind bereit, die App zu nutzen.“

1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20

Nach Abwägung der möglichen Folgen, die der Finanzchef und der Marketingchef aufgezeigt haben, wählt die Geschäftsführung für den Test die Nullhypothese II . Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00

Entscheiden Sie, ob bei der Abwägung, die zur Wahl der Nullhypothese II führte, die Befürchtung eines Imageverlusts oder die Kostenfrage als schwerwiegender erachtet wurde. Erläutern Sie Ihre Entscheidung.

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Beim Test einer Hypothese stellt man eine Nullhypothese H0 und eine Gegenhypothese H1 dazu auf.

  • Die Nullhypothese lautet „Mindestens 15% der Kunden sind bereit, die App zu nutzen.“  \({H_0}:\,\,\,{p_0} \ge 0,15\)
  • Die Gegenhypothese lautet: \({H_1}:\,\,\,{p_1} < 0,15\)

Signifikanzniveau \(\alpha = 0,1 \buildrel \wedge \over = 10\% \) bedeutet: Wenn tatsächlich mindestens 15% der Kunden bereit wären die App zu nützen, darf der Fehler sich irrtümlich nicht an der Entwicklung der App zu beteiligen, höchstens 10% betragen. Eine solche Fehlentscheidung nennt man einen Fehler 1. Art.

 

  • Fehler 1. Art: Man verwirft die Nullhypothese irrtümlich, obwohl sie zutrifft
  • Fehler 2. Art: Man hält an der Nullhypothese fest, obwohl sie nicht zutrifft.

 

Somit::
\(\begin{array}{l} p_{{p_0}}^n\left( {X \in \overline A } \right) \le \alpha \\ p_{0,15}^{200}\left( {X \le k} \right) \le 0,10 \end{array}\)

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach B(n;p) binomialverteilten Zufallsvariablen:
\(F_p^n\left( k \right) = P_p^n\left( {X \le k} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {B\left( {n;p;i} \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n\\ i \end{array}} \right)} } \cdot {p^i} \cdot {\left( {1 - p} \right)^{n - i}}\)

Somit:
\(F_{_{0,15}}^{200}\left( k \right) = \sum\limits_{i = 0}^k {B\left( {200;0,15;i} \right)} \le 0,10\)

Bei n=200, p=0,15 und \(\sigma {\rm{ = 0}}{\rm{,1}}\) liefert die Tabelle:
\({\rm{k = 23}} \leftrightarrow F_{_{0,15}}^{200}\left( {k = 23} \right) \approx 0,09592 \le 0,10\)

 

  • Ablehung: \({H_0} \in \overline A = \left\{ {0;1;2;...k} \right\} = \left\{ {0;1;2;\,\,...\,\,23} \right\}\)
  • Annahme: \({H_0} \in A = \left\{ {k + 1;k + 2;...200} \right\} = \left\{ {24;\,\,...\,\,200} \right\}\)

 

  • Damit die Geschäftsführung der finanziellen Beteiligung an der App zustimmt, müssen mindestens 24 der 200 befragten Kunden bereit sein, die App tatsächlich zu nützen. Wenn maximal 23 der 200 befragten Kunden bereit sind, die App tatsächlich zu nützen, dann verwirft man die Nullhypothese II.
  • Anders formuliert: Wenn mindestens 15% das sind mindestens 30 der 200 befragten Kunden bereit sind die App tatsächlich zu nützen, dann könnte man mit Sicherheit die Entscheidung für die finanzielle Beteiligung treffen. Wenn aber lediglich mindestens 24 der 200 befragten Kunden bereit sind, die App tatsächlich zu nutzen und man entscheidet sich trotzdem für die finanzielle Beteiligung, dann macht man zu maximal 10% einen Fehler der 1. Art.

 

2. Teilaufgabe:

Signifikanzniveau \(\alpha = 0,1 \buildrel \wedge \over = 10\% \) bedeutet: Wenn tatsächlich mindestens 15% der Kunden bereit wären die App zu nützen, darf der Fehler sich irrtümlich nicht an der Entwicklung der App zu beteiligen, höchstens 10% betragen.

Der Marketingchef warnt jedoch davor, auf eine Beteiligung an der App zu verzichten, da dies zu einem Imageverlust führen könnte.

→ Als sich die Geschäftsführung für die Nullhypothese II entschieden hat, hat sie der Warnung des Marketingchefs Rechnung getragen und die Wahrscheinlichkeit für einen Imageverlust auf unter 10% beschränkt.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe:

Damit die Geschäftsführung der finanziellen Beteiligung an der App zustimmt, müssen mindestens 24 der 200 befragten Kunden bereit sein, die App tatsächlich zu nützen.

2. Teilaufgabe:
Als sich die Geschäftsführung für die Nullhypothese II entschieden hat, hat sie der Warnung des Marketingchefs Rechnung getragen und die Wahrscheinlichkeit für einen Imageverlust auf unter 10% beschränkt.