Aufgabe 6014
Abitur 2015 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Geometrie
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Betrachtet wird die Pyramide ABCDS mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 4 | 2) , C(8 | 0 | 2), D(4 | -4 | 0) und S(1|1| -4) . Die Grundfläche ABCD ist ein Parallelogramm.
Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ABCD ein Rechteck ist.
Die Kante \(\left[ {AS} \right]\) senkrecht auf der Grundfläche ABCD. Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(24 \cdot \sqrt 2 \)
Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Ein Viereck ist dann ein Rechteck, wenn alle Innenwinkel rechte Winkel sind. Damit ein Viereck ein Rechteck ist, ist es hinreichend zu zeigen, dass ein Winkel ein rechter Winkel ist. Dafür verwenden wir das Orthogonalitätskriterium. 2 Vektoren stehen im rechten Winkel zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = 0\\ \overrightarrow a \circ \overrightarrow b = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}}\\ {{a_z}} \end{array}} \right) \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y} + {a_z} \cdot {b_z} \end{array}\)
Somit:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 - 0}\\ {4 - 0}\\ {2 - 0} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 4\\ 2 \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {BC} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {8 - 4}\\ {0 - 4}\\ {2 - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 4}\\ 0 \end{array}} \right)\\ \\ \overrightarrow {AB} \circ \overrightarrow {BC} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 4\\ 2 \end{array}} \right) \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 4}\\ 0 \end{array}} \right) = \\ = 4 \cdot 4 + 4 \cdot \left( { - 4} \right) + 2 \cdot 0 = 0 \to \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \end{array}\)
→ Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist null, daher schließen die beiden Vektoren einen rechten Winkel ein.
2. Teilaufgabe:
Wir sollen das Volumen der Pyramide berechnen. Dazu machen wir eine Skizze zur Veranschaulichung:
Variante 1:
Das Volumen einer Pyramide ergibt sich zu „Grundfläche mal ein Drittel der Höhe“:
\(V = G \cdot \dfrac{h}{3}\)
Die Grundfläche kennen wir aus der Angabe. Wir benötigen noch die Höhe und bedenken dabei, dass \(\overrightarrow {AS} \bot ABC{D_{}}\)
Somit errechnet sich die Höhe zu:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AS} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 - 0}\\ {1 - 0}\\ { - 4 - 0} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ { - 4} \end{array}} \right)\\ \left| {\overrightarrow {AS} } \right| = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {18} = \sqrt {2 \cdot 9} = 3 \cdot \sqrt 2 \end{array}\)
Für das Volumen ergibt sich:
\(24 \cdot \sqrt 2 \cdot \dfrac{{3 \cdot \sqrt 2 }}{3} = 24 \cdot {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 24 \cdot 2 = 48\)
→ Das Volumen der Pyramide beträgt 48 Einheiten.
Variante 2:
Der Betrag vom Kreuzprodukt der Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, entspricht der Fläche des Parallelogramms. Bilden wir das Skalarprodukt dieses Vektors mit der Höhe und multiplizieren mit 1/3, so erhalten wir ebenfalls das Volumen der Pyramide.
\(\begin{array}{l} V = \dfrac{1}{3} \cdot \overrightarrow {AS} \circ \left( {\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {BC} } \right) = \\ = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \circ \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 4\\ 2 \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 4}\\ 0 \end{array}} \right)} \right] = \\ = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {4 \cdot 0 - 2 \cdot \left( { - 4} \right)}\\ {2 \cdot 4 - 4 \cdot 0}\\ {4 \cdot \left( { - 4} \right) - 4 \cdot 4} \end{array}} \right) = \\ = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \circ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 8\\ { - 32} \end{array}} \right) = \\ = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {1 \cdot 8 + 1 \cdot 8 + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 32} \right)} \right) = \\ = \dfrac{1}{3} \cdot \left( {8 + 8 + 128} \right) = \\ = \dfrac{1}{3} \cdot 144 = 48 \end{array}\)
Beachte, dass das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren, die keine Nullvektoren sind, größer 0 ist.
→ Das Volumen der Pyramide beträgt 48 Einheiten.
Hier zeigen wir, dass der Betrag des Vektors welcher obigem Kreuzprodukt entspricht, gleich groß ist, wie die gegebene Grundfläche der Pyramide:
\(\left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 8\\ { - 32} \end{array}} \right)} \right| = \sqrt {{8^2} + {8^2} + {{\left( { - 32} \right)}^2}} = \sqrt {1152} = \sqrt {2 \cdot {{24}^2}} = 24 \cdot \sqrt 2 \)
Hier zeigen wir, dass die Kante AS senkrecht auf den Vektor steht, welcher obigem Kreuzprodukt entspricht:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AS} \times \left( {\overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {BC} } \right) = \\ = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 1\\ { - 4} \end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 8\\ { - 32} \end{array}} \right)} \right| = \\ = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1 \cdot \left( { - 32} \right) - \left( { - 4} \right) \cdot 8}\\ {\left( { - 4} \right) \cdot 8 - 1 \cdot \left( { - 32} \right)}\\ {1 \cdot 8 - 1 \cdot 8} \end{array}} \right)} \right| = \\ = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 32 + 32}\\ { - 32 + 32}\\ {8 - 8} \end{array}} \right)} \right| = \left| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ 0 \end{array}} \right)} \right| = 0 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Das Skalarprodukt der beiden Vektoren ist null, daher schließen die beiden Vektoren einen rechten Winkel ein.
2. Teilaufgabe:
Das Volumen der Pyramide beträgt 48 Einheiten.