Aufgabe 1469
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Aussagen über Zahlen
Gegeben sind Aussagen über Zahlen.
- Aussage 1: Jede reelle Zahl ist eine irrationale Zahl.
- Aussage 2: Jede reelle Zahl ist eine komplexe Zahl.
- Aussage 3: Jede rationale Zahl ist eine ganze Zahl.
- Aussage 4: Jede ganze Zahl ist eine natürliche Zahl.
- Aussage 5: Jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Welche der im Folgenden angeführten Aussagen gelten? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Lösungsweg
Können wir die jeweilige Aussage mit den gegebenen Definitionen in Einklang bringen, so ist die Aussage als richtig zu werten. Finden wir allerdings ein einziges Gegenbeispiel, so ist die Aussage als falsch zu werten. Zudem gilt:
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
- Aussage 1: Falsch, weil wegen \(\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} \to \mathbb{R} \not\subset \mathbb{I}\) können wir Zahlen finden, welche eine reelle Zahl ( \(x \in {\Bbb R}\) ), aber keine irrationale Zahl ist ( \(x \notin {\Bbb I}\) ). Beispiel: \(\dfrac{1}{4} \in Q{\text{ aber }}\dfrac{1}{4} = 0,25 \notin \mathbb{I}\) , aber \(\dfrac{1}{4} \in Q{\text{ aber }}\dfrac{1}{4} = 0,25 \notin \mathbb{I}\). Das bedeutet \({\Bbb R} \not\subset {\Bbb I}\) .
- Aussage 2: Richtig, weil jede reelle Zahl als komplexe Zahl dargestellt werden kann. Sei \(x \in {\Bbb R}\) eine beliebige reelle Zahl, dann ist \(x = x + 0 \cdot i \in {\Bbb C}\) und somit x auch eine komplexe Zahl. Das bedeutet \({\Bbb R} \subset {\Bbb C}\) .
- Aussage 3: Falsch, weil wir eine rationale Zahl finden können, welche keine ganze Zahl ist. Beispiel: \(\dfrac{1}{2} \in {\Bbb Q}\) aber \(\dfrac{1}{2} \notin {\Bbb Z}\) . Das bedeutet \({\Bbb Q} \not\subset {\Bbb Z}\) .
- Aussage 4: Falsch, weil wir eine ganze Zahl finden können, welche keine natürliche Zahl ist. Beispiel: \(- 1 \in {\Bbb Z}\) aber \(- 1 \notin {\Bbb N}\) . Das bedeutet \({\Bbb Z} \not\subset {\Bbb N}\) .
- Aussage 5: Richtig, weil jede natürliche Zahl sich als Bruch darstellen lässt. Jede Bruchzahl (rationale Zahl) ist schließlich in den reellen Zahlen enthalten. Es gilt: \({\Bbb N} \subset {\Bbb Z} \subset {\Bbb Q} \subset {\Bbb R}\) .
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussagen angekreuzt sind.