Aufgabe 1715
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Winkel mit gleichem Sinuswert
Gegeben sei eine reelle Zahl c mit 0<c<1. Für die zwei unterschiedlichen Winkel \(\alpha \) und \(\beta\) soll gelten:
\(\sin \left( \alpha \right) = \sin \left( \beta \right) = c\)
Dabei soll \(\alpha \) und \(\beta\) ein Winkel aus dem Intervall (0°; 360°) sein.
Aufgabenstellung:
Welche Beziehung besteht zwischen den Winkeln \(\alpha \) und \(\beta\) ?
- Aussage 1: \(\alpha + \beta = 90^\circ \)
- Aussage 2: \(\alpha + \beta = 180^\circ \)
- Aussage 3: \(\alpha + \beta = 270^\circ \)
- Aussage 4: \(\alpha + \beta = 360^\circ \)
- Aussage 5: \(\beta - \alpha = 270^\circ \)
- Aussage 6: \(\beta - \alpha = 180^\circ \)
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir skizzieren die Verhältnisse am Einheitskreis.
- Dazu nehmen wir einen beliebigen Winkel \(\alpha \) im 1. Quadrant an (weil \(\alpha \) ein spitzer Winkel ist) und zeichnen den zugehörigen Sinus als Gegenkathete ein.
- Der Winkel \(\beta \) muss nun so gewählt werden, dass der zugehörige Sinus, bzw. die zugehörige Gegenkathete gleich groß wie jene vom Winkel \(\alpha \) sind und das gleiche Vorzeichen hat. Dafür gibt es genau eine Möglichkeit im 2. Quadrant. Die Möglichkeiten im 3. und 4. Quadranten scheiden wegen des entgegengesetzten Vorzeichens aus.
Nachfolgend eine Illustration zur Veranschaulichung:
Nun können wir die Aussagen wie folgt beantworten:
- Aussage 1: Falsch, da \(\beta > 90^\circ \)
- Aussage 2: Richtig, weil die beiden Winkel sogenannte Supplementärwinkel sind und einander auf 180° ergänzen. Außerdem gilt die Beziehung:
\(\sin \left( \alpha \right) = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right)\)
- Aussage 3: Falsch, weil \(\alpha + \beta = 180^\circ \)
- Aussage 4: Falsch, weil \(\alpha + \beta = 180^\circ \)
- Aussage 5: Falsch, weil \(\beta - \alpha \in \left[ {0^\circ ,180^\circ } \right]\)
- Aussage 6: Falsch, weil \(\beta - \alpha = 180^\circ \) nur dann richtig ist, wenn \(\alpha = 0\), das nennt man aber einen Nullwinkel und nicht einen spitzen Winkel. Außerdem gilt laut Angabe, dass 0<c gelten muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
- Aussage 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die laut Lösungserwartung richtige Beziehung angekreuzt ist.