Aufgabe 1809
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadratische Gleichung
Für \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ist die quadratische Gleichung \({\left( {a \cdot x + 7} \right)^2}{\text{ = 25 in }}x \in {\Bbb R}\) gegeben.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie alle \(a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) an, für die \(x = - 4\) eine Lösung der gegebenen quadratischen Gleichung ist.
Lösungsweg
Wir fassen zusammen und formen die Gleichung wie folgt um
\(\eqalign{ & {\left( {a \cdot x + 7} \right)^2} = 25 \cr & x = - 4 \cr & {\left( {a \cdot \left( { - 4} \right) + 7} \right)^2} = 25 \cr & {\left( {7 - 4 \cdot a} \right)^2} = 25 \cr} \)
Wir können diese Gleichung auf 2 Arten lösen:
1. Lösungsmöglichkeit:
Wir ziehen die Wurzel und bedenken, dass die Wurzel aus 25 zwei und nicht etwa nur eine Lösung hat:
\(\eqalign{ & {\left( {7 - 4 \cdot a} \right)^2} = 25\,\,\,\,\,\sqrt {} \cr & \left( {7 - 4 \cdot a} \right) = \pm 5 \cr & \cr & {\text{Lsg}}{\text{.1:}} \cr & 7 - 4 \cdot a = + 5\,\,\,\,\,\left| { - 5 + 4 \cdot a} \right. \cr & 2 = 4 \cdot a \cr & {a_1} = \dfrac{2}{4} = 0,5 \cr & \cr & {\text{Lsg}}{\text{.2:}} \cr & 7 - 4 \cdot a = - 5\,\,\,\,\,\left| { + 5 + 4 \cdot a} \right. \cr & 12 = 4 \cdot a \cr & {a_2} = \dfrac{{12}}{4} = 3 \cr} \)
Somit: \({a_1} = 0,5\,\,\,\,\,{a_2} = 3\)
2. Lösungsmöglichkeit
Wir rechnen den Klammerausdruck aus und lösen die Gleichung mit Hilfe der abc-Fomel
\(\eqalign{ & {\left( {7 - 4 \cdot a} \right)^2} = 25 \cr & 49 - 56 \cdot a + 16 \cdot {a^2} = 25\,\,\,\,\,\left| { - 25} \right. \cr & 16 \cdot {a^2} - 56 \cdot a + 24 = 0 \cr & \cr & {a_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4 \cdot a \cdot c} }}{{2 \cdot a}} = \cr & = \dfrac{{ + 56 \pm \sqrt {{{56}^2} - 4 \cdot 16 \cdot 24} }}{{2 \cdot 16}} = \cr & = \dfrac{{56 \pm \sqrt {1600} }}{{32}} = \dfrac{{56 \pm 40}}{{32}} \cr & \cr & {a_1} = \dfrac{{16}}{{32}} = 0,5 \cr & {a_2} = \dfrac{{96}}{{32}} = 3 \cr} \)
Somit: \({a_1} = 0,5\,\,\,\,\,{a_2} = 3\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({a_1} = 0,5\,\,\,\,\,{a_2} = 3\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.