Aufgabe 1833
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parameterdarstellung von Geraden
Die nachstehende Abbildung zeigt die beiden Geraden g und h. Auf jeder der Geraden sind drei Punkte gekennzeichnet: A, B, P ∈ g bzw. B, C, Q ∈ h. Zusätzlich ist von jeder Geraden ein Richtungsvektor dargestellt.
Bild
- Aussage 1: \(A = C + s \cdot \overrightarrow v + t \cdot \overrightarrow w \)
- Aussage 2: \(B = C + s \cdot \overrightarrow v \)
- Aussage 3: \(B = Q + t \cdot \overrightarrow w \)
- Aussage 4: \(A = P + s \cdot \overrightarrow v + t \cdot \overrightarrow w \)
- Aussage 5: \(C = P + t \cdot \overrightarrow w \)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Aussagen an, bei denen s, t ∈ ℝ mit s ≠ 0 und t ≠ 0 so gewählt werden können, dass die jeweilige Aussage wahr ist.
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
s und t sind Parameter welche die Länge der Richtungsvektoren v und w bestimmen.
- Aussage 1: Richtig, weil vom Punkt C ausgehend kommen wir durch \(t \cdot \overrightarrow w \) zum Punkt B und durch \(s \cdot \overrightarrow v \) zum Punkt A.
- Aussage 2: Falsch, weil vom Punkt C ausgehend kommen wir durch \(s \cdot \overrightarrow w \) und nicht durch \(s \cdot \overrightarrow v \) zum Punkt B.
- Aussage 3: Richtig, weil vom Punkt Q ausgehend kommen wir durch \(t \cdot \overrightarrow w \) zum Punkt B
- Aussage 4: Falsch, weil vom Punkt P ausgehend kommen wir bereits durch \(s \cdot \overrightarrow v \) zum Punkt A. Es müsste also t=0 und somit \(\left| {t \cdot \overrightarrow w } \right| = 0\) sein, was aber laut Aufgabenstellung nicht zulässig ist.
- Aussage 5: Falsch, weil vom Punkt P ausgehend kommen wir mit \(t \cdot \overrightarrow w \) lediglich auf eine Gerade, welche parallel zur Geraden h, auf welcher wiederum der Zielpunkt C liegt, verläuft
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.