Aufgabe 1032
AHS - 1_032 & Lehrstoff: AN 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Stammfunktion
Es gilt die Aussage: „Besitzt eine Funktion f eine Stammfunktion, so besitzt sie sogar unendlich viele. Ist nämlich F eine Stammfunktion von f, so ist für jede beliebige reelle Zahl c auch die durch G(x) = F(x) + c definierte Funktion G eine Stammfunktion von f.“ (Quelle: Wikipedia)
Aufgabenstellung
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Ist die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f, dann gilt ______1______ . Gilt zudem _____2_____ , dann ist auch die Funktion G eine Stammfunktion von f.
1 | |
\(F\left( x \right) = f\left( x \right)\) | A |
\(F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | B |
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) | C |
2 | |
\(G'\left( x \right) = F'\left( x \right) = f\left( x \right)\) | I |
\(G\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | II |
\(G'\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\) | III |
Lösungsweg
- Aussage A: \(F\left( x \right) = f\left( x \right)\): Falsch, weil die Stammfunktion F(x) natürlich nicht gleich dem Integranden f(x) ist. Simples Beispiel: \(F\left( x \right) = {x^2} \to f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 2x \Rightarrow F\left( x \right) \ne f\left( x \right)\)
- Aussage B: \(F\left( x \right) = f'\left( x \right)\): Falsch, weil die Stammfunktion F(x) natürlich nicht gleich der 1. Ableitung f'(x) vom Integranden f(x) ist. Simples Beispiel: \(F(x) = {x^2} \to f\left( x \right) = F'\left( x \right) = 2x \to f'\left( x \right) = 2 \Rightarrow F\left( x \right) \ne f'\left( x \right)\)
- Aussage C: \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\): Richtig, weil es sich dabei genau um die Definition der Stammfunktion handelt.
- Aussage I: \(G'\left( x \right) = F'\left( x \right) = f\left( x \right)\): Richtig, weil es sich dabei genau um die Definition vom unbestimmten Integral handelt und sich die beiden Stammfunktionen F(x) und G(x) nur durch die Integrationskonstante C unterscheiden
- Aussage II: \(G\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\): Falsch, weil: \( F\left( x \right) \ne f'\left( x \right)\) Begründung siehe Aussage B
- Aussage III: \(G'\left( x \right) = F\left( x \right) = f'\left( x \right)\): Falsch, weil laut Angabe G(x) = F(x) + c und nicht \(G'\left( x \right) = F\left( x \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Ist die Funktion F eine Stammfunktion der Funktion f, dann gilt \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\). Gilt zudem \(G'\left( x \right) = F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), dann ist auch die Funktion G eine Stammfunktion von f.
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als gelöst, wenn genau die beiden zutreffenden Ausdrücke angekreuzt sind.