Aufgabe 1167
AHS - 1_167 & Lehrstoff: AN 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral berechnen
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie \(\int {\left( {a \cdot {h^3} + {a^2}} \right)} \,\,dh\)
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Summen- und Differenzenregel
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) \pm g\left( x \right) \cr & F\left( x \right) = \int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]} \,\,dx = \cr & = \int {f\left( x \right)\,\,dx} \pm \int {g\left( x \right)\,\,dx} \cr}\)
Das Integral der Summe / der Differenz zweier Funktionen f(x), g(x) ist gleich der Summe / der Differenz der jeweiligen Integrale. D.h. bei Summen / Differenzen wird gliedweise integriert.
Potenzen integrieren
\(\eqalign{ & {\text{für }}n \ne - 1 \cr & f\left( x \right) = {x^n} \cr & F\left( x \right) = \int {{x^n}.dx = \dfrac{1}{{n + 1}} \cdot {x^{n + 1}}} + C \cr}\)
Lösungsweg
Wir wenden die Summen und die Potenzenregel beim Integrieren wie folgt an.
\(\int {\left( {a \cdot {h^3} + {a^2}} \right)} \,\,dh = \int {a \cdot {h^3}\,\,dh + \int {{a^2}\,\,dh} } = \dfrac{{a \cdot {h^4}}}{4} + {a^2} \cdot h + C\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\int {\left( {a \cdot {h^3} + {a^2}} \right)} \,\,dh = \dfrac{{a \cdot {h^4}}}{4} + {a^2} \cdot h + C\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die angegebene oder eine dazu äquivalente Lösung (samt Integrationskonstante).