Typ 1 - Analysis
Hier findest du folgende Inhalte
Formeln
AT Matura AHS Inhaltsbereich Analysis
Wesentliches Ziel der standardisierten kompetenzorientierten Reifeprüfung in Mathematik ist die Sicherung mathematischer Grundkompetenzen an Österreichs AHS. Mathematische Grundkompetenzen beschreiben einen Kernbereich, der aufgrund fachlicher und gesellschaftlicher Relevanz als grundlegend und unverzichtbar gilt. Typ-1-Aufgaben sind Aufgaben, die auf die im Katalog angeführten Grundkompetenzen fokussieren. Bei diesen Aufgabenstellungen sind kompetenzorientiert (Grund-)Wissen und (Grund-)Fertigkeiten ohne darüber hinausgehende Eigenständigkeit nachzuweisen.
Analysis
Die Analysis stellt Konzepte zur formalen, kalkulatorischen Beschreibung von diskretem und stetigem Änderungsverhalten bereit. Die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient sind allgemeine mathematische Mittel, dieses Änderungsverhalten von Größen in unterschiedlichen Kontexten quantitativ zu beschreiben. Neben der Differentialrechnung wird auch die Integralrechnung behandelt.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
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AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 1.1
Änderungsmaße
AN 1.1: Absolute und relative (prozentuelle) Änderungsmaße unterscheiden und angemessen verwenden können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 1.2
Änderungsmaße
AN 1.2: Den Zusammenhang Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) – Differentialquotient („momentane“ Änderungsrate) auf der Grundlage eines intuitiven Grenzwertbegriffes kennen und damit (verbal sowie in formaler Schreibweise) auch kontextbezogen anwenden können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 1.3
Änderungsmaße
AN 1.3: Den Differenzen- und Differentialquotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch den Differenzen- bzw. Differentialquotienten beschreiben können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 1.4
Änderungsmaße
AN 1.4: Das systemdynamische Verhalten von Größen durch Differenzengleichungen beschreiben bzw. diese im Kontext deuten können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
Ab dem Haupttermin 2021/22 nicht mehr prüfungsrelevant
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AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 2.1
Regeln für das Differenzieren
AN 2.1: Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für \({\left( {k \cdot f\left( x \right)} \right)^\prime }\,\,\,{\text{bzw}}{\text{. }}\,\,\,{\left( {f\left( {k \cdot x} \right)} \right)^\prime }\) (vgl. Inhaltsbereich Funktionale Abhängigkeiten)
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 3.1
Ableitungsfunktion/Stammfunktion
AN 3.1: Den Begriff Ableitungsfunktion/Stammfunktion kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 3.2
Ableitungsfunktion/Stammfunktion
AN 3.2: Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren grafischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 3.3
Ableitungsfunktion/Stammfunktion
AN 3.3: Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
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AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 4.1
Summation und Integral
AN 4.1: Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 4.2
Summation und Integral
AN 4.2: Einfache Regeln des unbestimmten Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, \(\int {k \cdot f\left( x \right)} \,\,dx;\,\,\,\int {f\left( {x + k} \right)} \,\,dx\) (vgl. Inhaltsbereich „Funktionale Abhängigkeiten“), bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können. Mit Hilfe technischer Werkzeuge auch komplexere Integrationsmethoden anwenden und umsetzen können.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
AHS Mathe Matura kostenlose Vorbereitung Inhaltsbereich AN 4.3
Summation und Integral
AN 4.3: Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können. Der Fokus liegt auf der Beschreibung entsprechender Sachverhalte wie der Flächenberechnung durch bestimmte Integrale, sowie auf der angemessenen Interpretation des bestimmten Integrals im jeweiligen Kontext. Die Berechnung bestimmter Integrale beschränkt sich auf Polynomfunktionen.
Auszugsweise zitiert gemäß: Die standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik (AHS) Stand: Februar 2021
Aufgaben
Aufgabe 1003
AHS - 1_003 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzenquotient
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f mit einer Sekante.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine mathematisch korrekte Aussage entsteht!
Der Ausdruck _____1______ beschreibt _______2_________ .
1 | |
\(\dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) | A |
\(\dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{h}\) | B |
\(\dfrac{{f\left( {{x_0} + h} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{{x_0}}}\) | C |
2 | |
die Steigung von f an der Stelle x | I |
die 1. Ableitung der Funktion f | II |
die mittlere Änderungsrate im Intervall \(\left[ {{x_0};{x_0} + h} \right]\) | III |
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Aufgabe 1655
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Beschleunigung
Die Funktion a beschreibt die Beschleunigung eines sich in Bewegung befindlichen Objekts in Abhängigkeit von der Zeit t im Zeitintervall \(\left[ {{t_1};{t_1} + 4} \right]\). Die Beschleunigung a(t) wird in m/s2, die Zeit t in s angegeben.
Es gilt:
\(\int\limits_{{t_1}}^{{t_1} + 4} {a\left( t \right)\,\,dt = 2} \)
Aufgabenstellung
Eine der nachstehenden Aussagen interpretiert das angegebene bestimmte Integral korrekt. Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an!
- Aussage 1: Das Objekt legt im gegebenen Zeitintervall 2 m zurück.
- Aussage 2: Die Geschwindigkeit des Objekts am Ende des gegebenen Zeitintervalls betragt 2 m/s.
- Aussage 3: Die Beschleunigung des Objekts ist am Ende des gegebenen Zeitintervalls um 2 m/s2 höher als am Anfang des Intervalls.
- Aussage 4: Die Geschwindigkeit des Objekts hat in diesem Zeitintervall um 2 m/s zugenommen.
- Aussage 5: Im Mittel erhöht sich die Geschwindigkeit des Objekts im gegebenen Zeitintervall pro Sekunde um 2 m/s.
- Aussage 6: Im gegebenen Zeitintervall erhöht sich die Beschleunigung des Objekts pro Sekunde um \(\dfrac{2}{4}m/{s^2}\)
Aufgabe 1337
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 13. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Prozente
Zahlenangaben in Prozent (%) machen Anteile unterschiedlicher Großen vergleichbar.
- Aussage 1: Peters monatliches Taschengeld wurde von € 80 auf € 100 erhöht. Somit bekommt er jetzt um 20 % mehr als vorher.
- Aussage 2: Ein Preis ist im Laufe der letzten fünf Jahre um 10 % gestiegen. Das bedeutet in jedem Jahr eine Steigerung von 2 % gegenüber dem Vorjahr.
- Aussage 3: Wenn die Inflationsrate in den letzten Monaten von 2 % auf 1,5 % gesunken ist, bedeutet das eine relative Abnahme der Inflationsrate um 25 %.
- Aussage 4: Wenn ein Preis zunächst um 20 % gesenkt und kurze Zeit darauf wieder um 5 % erhöht wurde, dann ist er jetzt um 15 % niedriger als ursprünglich.
- Aussage 5: Eine Zunahme um 200 % bedeutet eine Steigerung auf das Dreifache.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
Aufgabe 1552
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Finanzschulden
Die Finanzschulden Österreichs haben im Zeitraum 2000 bis 2010 zugenommen. Im Jahr 2000 betrugen die Finanzschulden Österreichs F0, zehn Jahre später betrugen sie F1 ( jeweils in Milliarden Euro).
Aufgabenstellung
Interpretieren Sie den Ausdruck \(\dfrac{{{F_1} - {F_0}}}{{10}}\) im Hinblick auf die Entwicklung der Finanzschulden Österreichs!
Aufgabe 1224
AHS - 1_224 & Lehrstoff: AN 1.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Änderung der Spannung
Die nachstehende Abbildung zeigt den zeitlichen Verlauf t (in s) der Spannung U (in V) während eines physikalischen Experiments.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die absolute und die relative Änderung der Spannung während der ersten 10 Sekunden des Experiments!
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Aufgabe 1028
AHS - 1_028 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften einer Polynomfunktion
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c{\text{ mit }}a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}\). Der Graph der Funktion f verläuft durch den Punkt A = (2|4) und berührt die x-Achse im Koordinatenursprung.
- Aussage 1: \(f\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 2: \(f\left( 4 \right) = 2\)
- Aussage 3: \(f\left( 2 \right) = 4\)
- Aussage 4: \(f'\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f'\left( 2 \right) = 0\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!
Aufgabe 1094
AHS - 1_094 & Lehrstoff: AN 1.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Freier Fall – Momentangeschwindigkeit
Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Weg-Funktion s(t) durch \(s\left( t \right) = \dfrac{g}{2} \cdot {t^2}\) gegeben. Dabei ist g ≈ 10 m/s2 die Fallbeschleunigung.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit in m/s zum Zeitpunkt t = 2 Sekunden!
Aufgabe 1432
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung einer Winkelfunktion
Eine Gleichung einer Funktion f lautet: \(f\left( x \right) = 5 \cdot \cos \left( x \right) + \sin \left( {3 \cdot x} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung der Ableitungsfunktion f ′ der Funktion f an!
Aufgabe 1478
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2016 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Nachweis eines lokalen Minimums
Gegeben ist eine Polynomfunktion p mit \(p\left( x \right) = {x^3} - 3 \cdot x + 2\). Die erste Ableitung p′ mit \(p'\left( x \right) = 3 \cdot {x^2} - 3\) hat an der Stelle x=1 den Wert null.
Aufgabenstellung:
Zeigen Sie rechnerisch, dass p an dieser Stelle ein lokales Minimum (d. h. ihr Graph dort einen Tiefpunkt) hat!
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Aufgabe 1179
AHS - 1_170 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungsfunktion bestimmen
Gegeben ist die Funktion f mit \(f\left( y \right) = \dfrac{{{x^2}y - x{y^2}}}{2}{\text{ mit }}x \in {\Bbb R}\) .
Aufgabenstellung:
Bestimmen Sie den Funktionsterm der Ableitungsfunktion f‘!
Aufgabe 1583
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 28. September 2017 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flächeninhaltsberechnung
In der nachstehenden Abbildung sind die Graphen der Polynomfunktionen f und g dargestellt. Diese schneiden einander an den Stellen –3, 0 und 3 und begrenzen die beiden farblich markierten Flächenstücke.
- Aussage 1: \(A = \left| {\int\limits_{ - 3}^3 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)\,\,dx} } \right|\)
- Aussage 2: \(A = 2 \cdot \int\limits_0^3 {\left( {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right)} \,\,dx\)
- Aussage 3: \(A = \int\limits_{ - 3}^0 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,\,dx + \int\limits_0^3 {\left( {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right)} \,\,dx\)
- Aussage 4: \(A = \left| {\int\limits_{ - 3}^3 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)\,\,dx} } \right| + \int\limits_0^3 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,\,dx\)
- Aussage 5: \(A = \int\limits_{ - 3}^0 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,\,dx + \left| {\int\limits_0^3 {\left( {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right)} \,\,dx} \right|\)
Aufgabenstellung:
Welche der obenstehenden Gleichungen geben den Inhalt A der (gesamten) grau markierten Fläche an? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!
Aufgabe 1336
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 14. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitungswerte ordnen
Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f.
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie die Werte f'(0), f'(1), f'(3) und f'(4) der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten Wert! (Die konkreten Werte von f'(0), f'(1), f'(3) und f'(4) sind dabei nicht anzugeben.)