Aufgabe 1316
AHS - 1_316 & Lehrstoff: FA 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Punkte einer Wurzelfunktion
Eine Wurzelfunktion kann durch die Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\) mit \({\text{a}}{\text{,b}} \in {\Bbb R}\) festgelegt werden.
- Aussage 1: \({P_1} = \left( { - 1\left| a \right.} \right)\)
- Aussage 2: \({P_2} = \left( {0\left| b \right.} \right)\)
- Aussage 3: \({P_3} = \left( {a\left| b \right.} \right)\)
- Aussage 4: \({P_4} = \left( {b\left| {a \cdot b} \right.} \right) \)
- Aussage 5: \({P_5} = \left( {1\left| {a + b} \right.} \right)\)
Aufgabenstellung
Welche der nachstehenden Punkte liegen jedenfalls (bei jeder beliebigen Wahl von a und b) auf dem Graphen der Funktion f ? Kreuzen Sie die beiden entsprechenden Punkte an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wir setzen die x-Koodinate vom jeweiligen gegebenen Punkt in die Funktionsgleichung ein und prüfen ob der daraus resultierende Funktionswert y=f(x=Px) der y-Koordinate Py vom Punkt entspricht.
Lösungsweg
\(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b\)
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil für \({P_1} = \left( { - 1\left| a \right.} \right)\) wie folgt gilt: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b{\text{ }} \to {\text{f}}\left( { x=- 1} \right) = a \cdot \sqrt { - 1} + b\). Die Wurzel aus -1 ist aber i, die imaginäre Zahl, die Gleichung ist somit nur im Bereich der komplexen Zahlen lösbar.
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig,weil für \({P_2} = \left( {0\left| b \right.} \right)\) wie folgt gilt: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b{\text{ }} \to {\text{ f}}\left( {x = 0} \right) = a \cdot \sqrt 0 + b = b\). Der Punkt P2 erfüllt daher die Funktionsgleichung
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil für \({P_3} = \left( {a\left| b \right.} \right)\) wie folgt gilt: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b{\text{ }} \to {\text{f}}\left( {x = a} \right) = a \cdot \sqrt a + b = {a^{1,5}} + b \ne b\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil für \({P_4} = \left( {b\left| {a \cdot b} \right.} \right) \) wie folgt gilt: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b{\text{ }} \to {\text{f}}\left( {x = b} \right) = a \cdot \sqrt b + b = a \cdot b \cdot \left( {\dfrac{1}{{\sqrt b }} + \dfrac{1}{a}} \right) \ne a \cdot b\)
- Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil für \({P_5} = \left( {1\left| {a + b} \right.} \right)\) wie folgt gilt: \(f\left( x \right) = a \cdot \sqrt x + b{\text{ }} \to {\text{f}}\left( {x = 1} \right) = a \cdot \sqrt 1 + b = a + b\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.