Aufgabe 1390
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wasserkosten
Die monatlichen Wasserkosten eines Haushalts bei einem Verbrauch von x m3 Wasser können durch eine Funktion K mit der Gleichung \(K\left( x \right) = a + b \cdot x\) mit a, b ∈ ℝ+ beschrieben werden.
Aufgabenstellung:
Erklären Sie, welche Bedeutung die Parameter a und b in diesem Zusammenhang haben!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Kostenfunktion
Eine Kostenfunktion gibt an, wie viel es in Summe kostet, x-Stk zu produzieren.
\(K\left( x \right) = {K_f} + {K_v}\left( x \right)\)
Die Kostenfunktion beschreibt also den Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den dafür anfallenden Kosten. Die Kosten setzen sich dabei aus fixen Kosten zusammen die für die Aufrechterhaltung der Betriebsbereitschaft anfallen und aus variablen Kosten, die nur bei der tatsächlichen Produktion anfallen. In der Regel handelt es sich um eine monoton steigende Funktion.
Anmerkung: Hier wird die Kostenfunktion (vom Wasserwerk) synonym mit der Bezugskostenfunktion (vom Haushalt) verwendet. Das Wasserwerk wird aber wohl auch einen Gewinnaufschlag in die Bezugskosten vom Haushalt einrechnen.
Die Bezugskostenfunktion \(K\left( x \right) = a + b \cdot x\)ist die Summe zweier Terme:
- "a" ist eine Konstante und die steht somit für die Fixkosten, die auch dann anfallen, auch wenn man kein Wasser zapft (Darüber finanzieren sich die Kosten für den Bau und den Betrieb der Wasserleitung)
- "bx" ist eine lineare Funktion und somit steht "b" für die verbrauchsabhängigen variablen Kosten pro m3, wenn man Wasser zapft (Darüber finanzieren sich die Kosten für das konsumierte Wasser)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- a gibt die Fixkosten an.
- b gibt die (variablen) Kosten pro m3 Wasser an.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung. Beide Parameter müssen richtig gedeutet sein, damit die Lösung als richtig gewertet wird.