Aufgabe 1460
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 15. Jänner 2016 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Eigenschaften von Polynomfunktionen 3. Grades
Eine Polynomfunktion 3. Grades hat allgemein die Form
\(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) mit \(a,b,c,d \in {\Bbb R}\) und \(a \ne 0\)
- Aussage 1: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die keine lokale Extremstelle haben.
- Aussage 2: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die keine Nullstelle haben.
- Aussage 3: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die mehr als eine Wendestelle haben.
- Aussage 4: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die keine Wendestelle haben.
- Aussage 5: Es gibt Polynomfunktionen 3. Grades, die genau zwei verschiedene reelle Nullstellen haben.
Aufgabenstellung:
Welche der obigen Aussagen treffen für Polynomfunktionen 3. Grades zu? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Erinnern wir uns an die Zusammenhänge zwischen höherer Ableitungen
\(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
\(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
\(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt an der Stelle x0 |
- Wann hat die Funktion f eine lokale Extremstelle? Ist \(f'(x) = 0\) und \(f''(x) > 0\) (lokales Minimum) oder \(f''(x) < 0\) (lokales Maximum), so ist im Punkt (x|f(x)) eine lokale Extremstelle. Ist \(f'(x) = 0 \wedge f''(x) = 0\) , so ist in diesem Punkt ein Sattelpunkt. Eine differenzierbare Funktion f kann an Punkten x mit \(f'(x) \ne 0\) keine lokale Extremstelle besitzen.
- Wann hat die Funktion f eine Nullstelle? x ist eine Nullstelle der Funktion f genau dann, wenn \(f(x) = 0\) .
- Wann hat die Funktion f eine Wendestelle (Wendepunkt)? Der Punkt x heißt Wendestelle von f genau dann, wenn \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) .
Damit können wir nun die einzelnen Aussagen analysieren und beweisen oder gegebenenfalls widerlegen.
Schauen wir uns noch eine typische Funktion 3. Grades an:
Lösungsweg
- Aussage 1: Richtig, weil es Funktionen 3. Grades gibt, die keine lokale Extremstellen sondern nur einen Sattelpunkt besitzen. z.B.: \(f\left( x \right) = {x^3}\)
- Aussage 2: Falsch, weil auf Grund des 3. Grades gilt: \(- \infty \leqslant f\left( x \right) \leqslant + \infty\) daher muss auch der Wert f(x)=0 vorkommen, dh es muss mindestens eine Nullstelle geben.
- Aussage 3: Falsch, weil wir zeigen können, dass die zweite Ableitung einer Funktion 3. Grades eine lineare Funktion ist und diese genau eine Lösung besitzt und es somit genau eine Wendestelle gibt.
- Aussage 4: Falsch, siehe Aussage 3
- Aussage 5: Richtig, weil sich jede Funktion 3. Grades gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra in der Form \(f(x) = (x - {x_1}) \cdot (x - {x_2}) \cdot (x - {x_3})\)darstellen lässt. Genau zwei Nullstellen erhalten wir dann, wenn eine Doppellösung auftritt (z.B. \({x_2} = {x_3}\) ), z.B. \(f(x) = (x - 1) \cdot {(x - 2)^2}\)
Zur Aussage 2: \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) Analysieren wir den Fall a > 0: (Der Fall a < 0 geht ähnlich.)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \infty \), da der Term mit x3 stärker wächst als die Terme mit x2 und x muss der Funktionswert gegen + Unendlich gehen
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } a{x^3} + b{x^2} + cx + d = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } - a{x^3} + b{x^2} - cx + d = - \infty \), da der Term mit x3 stärker wächst als die Terme mit x2 und x muss der Funktionswert gegen - Unendlich gehen
Somit haben wir gezeigt, dass die Funktion f(x) sowohl positive als auch negative Werte annehmen muss. Nachdem die Funktion stetig ist, muss also auch an einer Stelle x die x-Achse geschnitten werden. Daher besitzt jede Polynomfunktion 3. Grades zumindest eine Nullstelle.
Zur Aussage 3 und 4:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \cr & f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c \cr & f''(x) = 6ax + 2b \cr & f''\left( {x = 0} \right) = 6ax + 2b = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{{2b}}{{6a}} = - \dfrac{b}{{3a}}{\text{ wobei a}} \ne {\text{0}} \cr} \)
Somit hat eine Polynomfunktion 3. Grades immer genau eine Wendestelle.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.