Aufgabe 1530

Es soll b so ermittelt werden, dass gilt: \(-sin\left( {x + b} \right) = cos\left( x \right)\)

Um den Wert \(b \in [0;2\pi ]\) zu ermitteln, reicht es aus für x einen beliebigen Wert einzusetzen. In diesem Fall bietet sich der Punkt \(x = 0\) an.

Die errechnete Lösung \({b_0}\) muss nicht automatisch im Intervall \([0;2\pi ]\) liegen, sie kann auch im Intervall \(\left[ { - 2\pi ;0} \right]\) liegen (was auch der Fall sein wird). Nachdem aber Cosinus und Sinus \(2\pi\)-periodisch sind, erhalten wir die gesuchte Lösung b durch Verschieben um \({2\pi }\) gemäß: \(b = {b_0} + 2\pi\)

Es soll b ermittelt werden:

\(- \sin \left( {x + b} \right) = \cos \left( x \right)\)

Wir wählen willkürlich x=0, weil dann das x aus dem linkten Term "herausfällt"

\(\eqalign{ & --sin\left( b \right) = cos\left( 0 \right) = 1\,\,\,\,\,\,| \cdot ( - 1) \cr & \sin (b) = - 1\,\,\,\,\,|\arcsin \cr & {b_0} = \arcsin ( - 1) = - \frac{\pi }{2} \cr}\)

Wie schon in der Aufgabenanalyse erwähnt, müssen wir diesen Wert noch um \({2\pi }\) verschieben, damit er im vorgegebenen Lösungsintervall \(b \in [0;2\pi ]\) liegt:

\(\eqalign{ & b = {b_0} + 2 \cdot \pi = - \frac{\pi }{2} + 2\pi = \frac{{3 \cdot \pi }}{2} \cr & b = \frac{{3\pi }}{2} = 4,712rad \cr}\)