Aufgabe 1015

Die Normalverteilung ersetzt bei großen Stichproben, also bei relativ hohem n, die Binomialverteilung. Bei der Befragung wurden n=2000 Personen befragt, von denen p=14%=0,14 angeben, für die Partei "Alternatives Leben" zu stimmen. Auf Grund der vielen Befragten bietet es sich an, mit der gaußschen Normalverteilung zu arbeiten. Mit Hilfe von n und p kann man wie folgt berechnen:

• Erwartungswert: \(\mu = E\left( X \right) = n \cdot p = 2000 \cdot 0,14 = 280\)
• Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt {n \cdot p \cdot \left( {1 - p} \right)} = \sqrt {2000 \cdot 0,14 \cdot \left( {1 - 0,14} \right)} = 15,5\)

Weil \(\sigma = 15,5 \gg 3\) (Laplace Bedingung) bestätigt sich unsere Annahme der Normalverteilung, die wir auf Grund von n=2000 getroffen hatten.

Gemäß Aufgabenstellung interessieren wir uns nun für die Fragestellung, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Stimmanteil zwischen 12% und 16% liegen wird. In der nachfolgenden Grafik entspricht die eingefärbte Fläche dem Integral der gaußschen Glockenkurve mit \(\mu = 280\) und \(\sigma = 15,5\) zwischen den Integrationsgrenzen

• untere Grenze von 12%, entsprechend \(0,12 \cdot 2000 = 240\)
• obere Grenze von 16%, entsprechend \(0,16 \cdot 2000 = 320\)

Hat eine Zufallsvarialbe X eine Normalverteilung mit beliebigen \(\mu\) und \(\sigma\) , so kann man die Werte der Normalverteilung mit \(z = \dfrac{{X - \mu }}{\sigma }\)in eine Standardnormalverteilung umrechnen. Für unsere Aufgabe errechnet sich z wie folgt:

\(\begin{array}{l} {z_{oG}} = \dfrac{{320 - 280}}{{15,5}} = 2,58\\ {z_{uG}} = \dfrac{{240 - 280}}{{15,5}} = - 2,58 \end{array}\)

Anmerkung: Aus der Tatsache, dass \(\left| {{z_{oG}}} \right| = \left| {{z_{uG}}} \right| = 2,58\) gilt, werden wir am Schluss der Rechnung noch eine Vereinfachung ableiten

Um bei der Verteilungsfunktion Verwechslungen mit der Normalverteilung zu vermeiden, verwendet man für die Standardnormalverteilung die Bezeichnung \(\Phi \left( z \right)\), statt F(x).

• Das zugehörige \(\Phi \left( {{z_{oG}}} \right) = \Phi \left( {2,58} \right) = 0,9951\) entnehmen wir der entsprechenden Tabelle für die Standardnormalverteilung in unserer Formelsammlung an der Stelle z=2,5+0,08 mit \(\Theta \left( {2,58} \right) = 0,9951\).
• Funktionswerte für negative Argumente müssen wie folgt umgerechnet werden: \(\Phi \left( { - z} \right) = 1 - \Phi \left( z \right)\)somit \(\Phi \left( {{z_{uG}}} \right) = \Phi \left( { - 2,58} \right) = 1 - \Phi \left( {2,58} \right) = 1 - 9951 = 0,0049\)

Wir wollen aber weder die Sicherheit für 16% (0,9951) noch die für 12% (0,0049) wissen, sondern die Sicherheit die zwischen 12% als unterer Grenze und 16% als obere Grenze liegt. Die errechnet sich aus oberer Grenze minus unterer Grenze wie folgt:

\(D = \Phi \left( {2,58} \right) - \Phi \left( { - 2,58} \right) = 0,9951 - 0,0049 = 0,9902\)⇒ Die Behauptung kann mit 99,02%iger Sicherheit aufgestellt werden.

Die Fläche bis zur oberen Grenze:

Die Fläche bis zur unteren Grenze:

Anmerkung: Den Umstand, dass \(\left| {{z_{oG}}} \right| = \left| {{z_{uG}}} \right| = 2,58\) gilt, machen sich manche Tabellen für die Standardnormalverteilung zu Nutze und liefern direkt den Lösungswert \(D\left( {2,58} \right) = 0,9902\) gemäß folgendem Zusammenhang: \(D\left( {2,58} \right) = 2 \cdot \Phi \left( {2,58} \right) - 1 = 2 \cdot 0,9951 - 1 = 0,9902\)⇒ Die Behauptung kann mit 99,02%iger Sicherheit aufgestellt werden.