Aufgabe 1043
AHS - 1_043 & Lehrstoff: WS 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Gustav kommt in der Nacht nach Hause und muss im Dunkeln die Haustüre aufsperren. An seinem ringförmigen Schlüsselbund hängen fünf gleiche Schlüsseltypen, von denen nur einer sperrt. Er beginnt die Schlüssel zufällig und nacheinander zu probieren. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl k der Schlüssel an, die er probiert, bis die Tür geöffnet ist.
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
\(P\left( {X = k} \right)\) |
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie in der Tabelle die fehlenden Wahrscheinlichkeiten und ermitteln Sie den Erwartungswert E(X) dieser Zufallsvariablen X!
Lösungsweg
Eine Gleichwahrscheinlichkeit liegt vor, weil jedes der n Elementarereignissen die gleiche Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{n}\) hat.
Der zugehörige Erwartungswert errechnet sich zu: \(E(X) = \mu = \sum\limits_{i = 1}^k {{x_i} \cdot P(X = {x_i})} = \sum\limits_{i = 1}^k {{x_i} \cdot f\left( x \right)} \)
Wir wenden uns zunächst der 1. Fragestellung zu und ermitteln die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten \(P\left( {X = k} \right)\)
- Die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X = 1} \right)\), dass bereits der 1. Schlüssel sperrt errechnet sich zu: \(\dfrac{1}{5}\)
- Die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X = 2} \right)\), dass der 2. Schlüssel sperrt errechnet sich zu: \(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{{20}} = \dfrac{1}{5}\)
- Die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X = 3} \right)\), dass der 3. Schlüssel sperrt errechnet sich zu: \(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{{12}}{{60}} = \dfrac{1}{5}\)
- Die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X = 4} \right)\), dass der 4. Schlüssel sperrt errechnet sich zu: \(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{24}}{{120}} = \dfrac{1}{5}\)
- Die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {X = 5} \right)\), dass erst der 5. und letzte Schlüssel sperrt errechnet sich zu: \(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{1} = \dfrac{{24}}{{120}} = \dfrac{1}{5}\)
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
\(P\left( {X = k} \right)\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
⇒ Es liegt eine sogenannte Gleichwahrscheinlichkeit vor, weil jedes der n Elementarereignissen die gleiche Wahrscheinlichkeit \(\dfrac{1}{n}\) hat.
Nun ermitteln wir noch den Erwartungswert:
\(\begin{array}{l} E\left( X \right) = 1 \cdot P\left( {X = 1} \right) + 2 \cdot P\left( {X = 2} \right) + 3 \cdot P\left( {X = 3} \right) + 4 \cdot P\left( {X = 4} \right) + 5 \cdot P\left( {X = 5} \right) = \\ = \left( {1 \cdot \dfrac{1}{5}} \right) + \left( {2 \cdot \dfrac{1}{5}} \right) + \left( {3 \cdot \dfrac{1}{5}} \right) + \left( {4 \cdot \dfrac{1}{5}} \right) + \left( {5 \cdot \dfrac{1}{5}} \right) = \\ = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{5} + \dfrac{4}{5} + \dfrac{5}{5} = \dfrac{{15}}{5} = 3 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtigen Lösungen lauteten:
k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
\(P\left( {X = k} \right)\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
und für den Erwartungswert: \(E\left( X \right) = 3\)
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn die Tabelle korrekt ausgefüllt und der Erwartungswert richtig berechnet ist.