Aufgabe 3078
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2021 - Teil-2-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erderwärmung
Unter globaler Mitteltemperatur versteht man die über die gesamte Erdoberfläche gemittelte Temperatur in einem bestimmten Zeitraum unter bestimmten Bedingungen. Die Entwicklung der globalen Mitteltemperatur kann mithilfe von Klimamodellen prognostiziert werden.
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Es gilt:
\(T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1{\text{ mit }}a \in \mathbb{R}\)
Teil b
Verschiedene Studien nehmen an, dass die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100 im Vergleich zur globalen Mitteltemperatur im Jahr 2000 (also 14,31 °C) um mindestens 1,5 °C, aber um höchstens 4,5 °C höher sein wird.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Weisen Sie nach, dass die Funktion T mit a = 2,7 diese Studien mit der Annahme für das Jahr 2100 bestätigt.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie den kleinstmöglichen Wert amin und den größtmöglichen Wert amax so an, dass die Funktion T diese Studien bestätigt.
amin =
amax =
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Funktion T beschreibt modellhaft die globale Mitteltemperatur in Abhängigkeit von der Zeit t (t in Jahren, ab dem Jahr 1900, T(t) in °C). Die Funktion T(t) hat das Jahr 1900 als Bezugsjahr. Wir berechnen zunächst die globale Mitteltemperatur im Jahr 2100, also nach 200 Jahren. Es gilt:
\(\eqalign{ & T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1 \cr & \cr & t = 2100 - 1900 = 200 \cr & a = 2,7 \cr & T\left( {t = 200} \right) = 2,7 \cdot {e^{0,008 \cdot 200}} - 0,03 \cdot 200 + 11,1 \approx 18,473 \cr} \)
Nun überprüfen wir, ob die Temperatur von 18,5°C im Jahr 2100 im Temperatur-Intervall liegt welches sich aus der Temperatur im Jahr 2000 (14,31°C) plus 1,5°C bzw. 4,5°C befindet.
\(\eqalign{ & 14,31 + 1,5 \leqslant 18,473 \leqslant 14,31 + 4,5 \cr & 15,81^\circ C < 18,47^\circ C < 18,81^\circ C \cr} \)
→ Die Funktion T mit a = 2,7 bestätigt diese Studien.
2. Teilaufgabe:
Wir setzen t=200 sowie die Temperaturen (14,31 + 1,5) bzw (14,31+4,5) in die Gleichung ein und machen a explizit:
\(\eqalign{ & T\left( t \right) = a \cdot {e^{0,008 \cdot t}} - 0,03 \cdot t + 11,1 \cr & \cr & T(t = 200):\,\,{a_{\min }} \cdot {e^{0,008 \cdot 200}} - 0,03 \cdot 200 + 11,1 = 14,31 + 1,5 \cr & T(t = 200):\,\,{a_{\max }} \cdot {e^{0,008 \cdot 200}} - 0,03 \cdot 200 + 11,1 = 14,31 + 4,5 \cr & \cr & {a_{\min }} \cdot {e^{1,6}} + 5,1 = 15,81 \to {a_{\min }} = \dfrac{{15,81 - 5,1}}{{{e^{1,6}}}} \approx 2,162 \cr & {a_{\max }} \cdot {d^{1,6}} + 5,1 = 18,81 \to {a_{\max }} = \dfrac{{18,81 - 5,1}}{{{e^{1,6}}}} \approx 2,768 \cr} \)
Somit:
amin = 2,162...
amax = 2,768...
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Funktion T mit a = 2,7 bestätigt diese Studien.
2. Teilaufgabe
- amin = 2,162...
- amax = 2,768...
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für einen richtigen Nachweis.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte.