Aufgabe 4003

1. Teilaufgabe

• Der Definitionsbereich D_f entspricht der Menge aller Werte, die man für x in einer Funktionsgleichung y=f(x) verwenden kann.
• Wir bezeichnen den Abschusspunkt mit x₀=0 und den Punkt, an dem der Ball nach dem Schuss das 1. Mal auf der Wiese auftrifft als x_NST.
• Der Ball fliegt gemäß der Funktion h(x) und trifft dort (x_NST) auf den Boden auf, wo die Funktion ihre Nullstelle hat

\(h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2}{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

Man kann x² herausheben, dann erhält man statt einer Summendarstellung eine Produktdarstellung:

\(\eqalign{ & - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2} = 0 \cr & {x^2} \cdot \left( { - 0,003 \cdot x + 0,057} \right) = 0 \cr} \)

• Das Produkt ist dann Null. wenn der 1. Faktor \({x^2}\)zu Null wird → \({x_{1,2}} = 0\)
• Das Produkt ist dann Null, wenn der 2. Faktor \(\left( { - 0,003 \cdot x + 0,057} \right)\) zu Null wird: \({x_3} = \dfrac{{0,057}}{{0,003}} = 19\)

Somit lautet der Definitionsbereich: \({D_f} = \left[ {0;19} \right]\)

Alternativ kann man die Lösung auch Mittels Technologieeinsatz finden:

Geogebra:

• Ansicht → CAS
• Gleichung eingeben und "return" drücken
• 7. Icon "x=" anklicken
• Man kann die Lösungen in der 2. Zeile ablesen

Bild

2. Teilaufgabe
Wir suchen den Hochpunkt der gegebenen Funktion h(x).

\(h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2}{\text{ mit }}x \geqslant 0\)

Diesen finden wir, indem wir die 1. Ableitung h'(x) bilden und dann gleich Null setzen:

\(\eqalign{ & h\left( x \right) = - 0,003 \cdot {x^3} + 0,057 \cdot {x^2} \cr & h'\left( x \right) = 3 \cdot \left( { - 0,003} \right) \cdot {x^2} + 2 \cdot 0,057 \cdot x = 0 \cr & - 0,009 \cdot {x^2} + 0,114 \cdot x = 0 \cr & x \cdot \left( { - 0,009x + 0,114} \right) = 0 \cr & {x_1} = 0 \cr & \cr & - 0,009x + 0,114 = 0 \cr & {x_2} = \frac{{0,114}}{{0,009}} = 12,67 \cr} \)

In einer horizontalen Entfernung von rund 12,7 m zur Abschussstelle erreicht der Ball seine größte Höhe.
Den konkreten Wert der Höhe ermitteln wir, indem wir wir folgt einsetzen (h(x=x₂)
\(h\left( {x = 12,67} \right) = - 0,003 \cdot {12,67^3} + 0,057 \cdot {12,67^2} = 3,048\)

Der höchste Punkt ist also 3.048m hoch
Wir veranschaulichen diese Zusammenhänge in folgender Illustration:

Der Nachweis, dass es sich bei der Extremstelle um eine Maximumstelle handelt, und eine Überprüfung der Ränder des Definitionsbereichs sind nicht erforderlich.

Alternativ kann man die Lösung auch Mittels Technologieeinsatz finden:

Geogebra:

• Ansicht → Algebra & Grafik
• Gleichung eingeben
• Extremum f eingeben → Im Punkt P kann man den x- und den gesuchten y-Wert ablesen

Bild