Aufgabe 4010
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rohmilchproduktion - Aufgabe A_252
Teil a
Im Jahr 1995 betrug die Rohmilchproduktion der Kühe in Österreich insgesamt 2,948 Millionen Tonnen, im Jahr 2013 betrug sie 3,393 Millionen Tonnen. Die jährliche absolute Zunahme der Rohmilchproduktion wird als konstant angenommen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie eine Gleichung der Funktion f, die die Rohmilchproduktion in Abhängigkeit von der Zeit t beschreibt. Wählen Sie t = 0 für das Jahr 1995. [1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie mithilfe der Funktion f die voraussichtliche Rohmilchproduktion im Jahr 2017. [1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
| t | f(t) | |
| 1995 | t0=1995=0 | d=2,948 |
| 2013 | t=2013-1995=18 | 3,393 |
Um die linearen Funktion \(f\left( t \right) = k \cdot t + d\) anschreiben zu können benötigen wir die Parameter k und d.
- An der Stelle t0 können wir d direkt zu d=2,948 ablesen
- k können wir aus dem Differenzenquotient berechnen: \(k = \dfrac{{\Delta f\left( t \right)}}{{\Delta t}} = \dfrac{{3,393 - 2,948}}{{18}} \approx 0,0247\)
Die gesuchte Gleichung der Funktion f lautet somit: \(f\left( t \right) = 0,0247 \cdot t + 2,948\)
mit
| t | Zeit in Jahren seit 1995 |
| f(t) | jährliche Rohmilchproduktion zur Zeit t in Millionen Tonnen |
2. Teilaufgabe
Seit dem Bezugsjahr 1995 sind bis 2017 insgesamt 22 Jahre vergangen. Wir errechnen also den Funktionswert für diesen Zeitpunkt wie folgt:
\(\eqalign{ & f\left( t \right) = 0,02472 \cdot t + 2,948 \cr & t = 2017 - 1995 = 22 \cr & f\left( {t = 22} \right) = 0,02472 \cdot 22 + 2,948 = 3,49184 \cr} \)
Gemäß diesem Modell beträgt 2017 die voraussichtliche österreichische jährliche Rohmilchproduktion rund 3,492 Millionen Tonnen.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Gleichung der Funktion f lautet: \(f\left( t \right) = 0,02472 \cdot t + 2,948\)
2. Teilaufgabe
Gemäß diesem Modell betragt die voraussichtliche jährliche Rohmilchproduktion im Jahr 2017 in Österreich rund 3,492 Millionen Tonnen
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Erstellen einer Gleichung der Funktion f (KA)
2. Teilaufgabe
1 × B: für die richtige Berechnung der jährlichen Rohmilchproduktion im Jahr 2017 (KB)