Aufgabe 4076

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Pizzalieferdienst - Aufgabe A_264

Teil a

Eine Pizzeria liefert Pizzen auf Bestellung aus. Die Kunden sollen möglichst schnell beliefert werden, damit die Pizzen bei der Zustellung noch heiß sind. Für 100 Pizzen wurden die Zustellzeiten erhoben und in 6 Klassen eingeteilt:

Klasse Zustellzeit in Minuten Klassenmitte absolute Häufigkeit
1 [0; 10[ 5 4
2 [10; 20[ 15 48
3 [20; 30[ 25 27
4 [30; 40[ 35 11
5 [40; 50[ 45 5
6 [50; 60[ 55 5

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie an, in welcher Klasse der Median der Zustellzeiten liegt.
[1 Punkt]

Mithilfe der Klassenmitten können das arithmetische Mittel \(\overline x \) und die Standardabweichung s der Zustellzeiten näherungsweise berechnet werden. Es gilt: \(\overline x \) = 23 min

  • Aussage 1: \(\sqrt {\dfrac{{\left( {5 - 23} \right) + \left( {15 - 23} \right) + \left( {25 - 23} \right) + \left( {35 - 23} \right) + \left( {45 - 23} \right) + \left( {55 - 23} \right)}}{6}} \)
  • Aussage 2: \(\sqrt {\dfrac{{{{\left( {5 - 23} \right)}^2} + {{\left( {15 - 23} \right)}^2} + {{\left( {25 - 23} \right)}^2} + {{\left( {35 - 23} \right)}^2} + {{\left( {45 - 23} \right)}^2} + {{\left( {55 - 23} \right)}^2}}}{6}} \)
  • Aussage 3: \(\sqrt {\dfrac{{{{\left( {5 - 23} \right)}^2} \cdot 4 + {{\left( {15 - 23} \right)}^2} \cdot 48 + {{\left( {25 - 23} \right)}^2} \cdot 27 + {{\left( {35 - 23} \right)}^2} \cdot 11 + {{\left( {45 - 23} \right)}^2} \cdot 5 + {{\left( {55 - 23} \right)}^2} \cdot 5}}{6}} \)
  • Aussage 4: \(\sqrt {\dfrac{{{{\left( {5 - 23} \right)}^2} \cdot 4 + {{\left( {15 - 23} \right)}^2} \cdot 48 + {{\left( {25 - 23} \right)}^2} \cdot 27 + {{\left( {35 - 23} \right)}^2} \cdot 11 + {{\left( {45 - 23} \right)}^2} \cdot 5 + {{\left( {55 - 23} \right)}^2} \cdot 5}}{{100}}} \)
  • Aussage 5: \(\sqrt {\dfrac{{{{\left( {5 - 23} \right)}^2} \cdot 5 + {{\left( {15 - 23} \right)}^2} \cdot 15 + {{\left( {25 - 23} \right)}^2} \cdot 25 + {{\left( {35 - 23} \right)}^2} \cdot 35 + {{\left( {45 - 23} \right)}^2} \cdot 45 + {{\left( {55 - 23} \right)}^2} \cdot 55}}{{100}}} \)

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie denjenigen Ausdruck an, mit dem die zugehörige Standardabweichung s der Zustellzeiten berechnet werden kann.
[1 aus 5] [1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe:

Der Median bzw. Zentralwert med ist der in der Mitte stehende Wert xi einer nach aufsteigender Größe geordneten Liste. Der Median teilt die geordnete Liste also in zwei Hälften, mit jeweils der Hälfte der Stichproben links bzw. rechts vom Median.

Laut Angabe umfasst die Erhebung 100 Stk Pizza.

\(me{d_{{\rm{n = gerade}}}} = \dfrac{{{x_{\left( {\dfrac{n}{2}} \right)}} + {x_{\left( {\dfrac{n}{2} + 1} \right)}}}}{2} = \dfrac{{{x_{50}} + {x_{51}}}}{2} = \dfrac{{2 + 2}}{2} = 2\)

→ Die 50. und die 51. Pizza sind beide in der Klasse 2, daher liegt der Median in der Klasse 2.

2. Teilaufgabe

Die (empirische) Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit im Durchschnitt die einzelnen Messwerte vom Erwartungswert entfernt liegen, dh wie weit die einzelnen Messwerte um den Erwartungswert streuen.

Sie errechnet sich bei einer Vollerhebung (1/n) und bei gegebener absoluter Häufigkeit n1, .., nk wie folgt:

\(s = \sqrt {\dfrac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^k {{n_k} \cdot {{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} } \)

Im vorliegenden Beispiel gilt:

  • n=100 → es kommen nur die Aussagen 4 oder 5 in die weitere Betrachtung
  • es ist mit der absoluten Häufigkeit (Aussage 4) und nicht mit der Klassenmitte (Aussage 5) zu multiplizieren → Aussage 4: Richtig

Somit:

  • Aussage 1: Falsch
  • Aussage 2: Falsch
  • Aussage 3: Falsch
  • Aussage 4: Richtig
  • Aussage 5: Falsch

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe
Der Median liegt in der Klasse 2.

2. Teilaufgabe

  • 1. Aussage: Falsch
  • 2. Aussage: Falsch
  • 3. Aussage: Falsch
  • 4. Aussage: Richtig
  • 5. Aussage: Falsch

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
1 × C1: für die richtige Angabe derjenigen Klasse, in der der Median liegt (KA)

2. Teilaufgabe
1 × C2: für das richtige Ankreuzen (KA)