Aufgabe 4176
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Der Pauliberg - Aufgabe A_067
Der Pauliberg ist Österreichs jüngster erloschener Vulkan und ein beliebtes Ausflugsziel im Burgenland.
Teil a
Beim Pauliberg befindet sich eine Fundstätte von großen Brocken aus vulkanischem Gestein. Für die nachfolgenden Aufgaben wird vereinfacht von kugelförmigen Brocken ausgegangen. Ein bestimmter Brocken hat eine Masse von 4,5 t. Die Dichte des Gesteins beträgt 3 000 kg/m3. Die Masse m ist das Produkt aus Volumen V und Dichte \(\rho\) also: \(m = V \cdot \rho \)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Durchmesser dieses Brockens.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Von zwei solchen Brocken mit gleicher Dichte und verschiedener Masse kennt man jeweils den Durchmesser:
| Brocken 1 | Brocken 2 | |
| Masse in kg | m1 | m2 |
| Durchmesser | 1 m | 1 dm |
Kreuzen Sie die zutreffende Aussage an.
- Aussage 1: m1 ist das Zehnfache von m2.
- Aussage 2: m1 und m2 stehen im Verhältnis 10 000 : 1.
- Aussage 3: \({m_2} = 1000 \cdot \pi \cdot {m_1}\)
- Aussage 4: m1 und m2 stehen im Verhältnis 100 : 1.
- Aussage 5: \({m_1} = 1000 \cdot {m_2}\)
[1 aus 5] [1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Brocken hat laut Angabe die Form einer Kugel. Wir können daher die gegebene Formel so umformen, dass das Volumen explizit wird:
\(V = \dfrac{m}{\rho } = \dfrac{{4500}}{{3000}} \cdot \dfrac{{{\text{kg}}}}{{{\text{kg/}}{{\text{m}}^{\text{3}}}}} = 1,5{{\text{m}}^{\text{3}}}\)
Somit kennen wir das Volumen des Brockens. Daraus können wir den gesuchten Durchmesser wie folgt ausrechnen:
\(\eqalign{ & 1,5 = \dfrac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cr & r = \root 3 \of {\dfrac{{1,5 \cdot 3}}{{4 \cdot \pi }}} \approx 0,71 \cr & d = 2 \cdot r \approx 1,42 \cr} \)
→ Der Durchmesser beträgt rund 1,4 m.
2. Teilaufgabe:
Da die beiden Brocken die gleiche Dichte haben, müssen wir die Dichte nicht weiter berücksichtigen. Wir betrachten also geometrisch eine Kugel.
- Aussage 1: Falsch, siehe Begründung bei Aussage 5
- Aussage 2: Falsch, siehe Begründung bei Aussage 5
- Aussage 3: Falsch, siehe Begründung bei Aussage 5
- Aussage 4: Falsch, siehe Begründung bei Aussage 5
- Aussage 5: Richtig, weil bei 10-fach größerem Durchmesser auch der 10-fach größere Radius vorliegt. Der Radius geht aber mit der 3. Potenz in das Volumen einer Kugel ein und die 3. Potenz von 10 ist 1000.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der Durchmesser beträgt rund 1,4 m.
2. Teilaufgabe
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Richtig
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: für die richtige Berechnung des Durchmessers
2. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Ankreuzen