Aufgabe 4181
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-A Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Pelletsheizung - Aufgabe A_068
Teil c
Bei einer Lieferung werden die Pellets in einer Höhe von 2 m durch einen Einblasstutzen in einen Lagerraum waagrecht eingeblasen. Eine aufgehängte Schutzmatte soll dabei verhindern, dass die Pellets brechen, wenn die Einblasgeschwindigkeit zu groß ist. Die Flugbahn eines Pellets kann modellhaft durch den Graphen der folgenden quadratischen Funktion beschrieben werden:
\(h\left( x \right) = - \dfrac{{5 \cdot {x^2}}}{{{v_0}^2}} + 2\)
mit
x ... waagrechte Entfernung vom Einblasstutzen in m
h(x) ... Flughöhe eines Pellets über dem Boden bei der Entfernung x in m
v0 ... Einblasgeschwindigkeit in m/s
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie im nachstehenden Koordinatensystem den Graphen der Funktion h für eine Einblasgeschwindigkeit von v0 = 4 m/s ein.
[1 Punkt]
Bei einer anderen Einblasgeschwindigkeit trifft das Pellet gerade noch das untere Ende der 1 m langen Schutzmatte.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie diese Einblasgeschwindigkeit.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Um den Graphen einzeichnen zu können, erstellen wir eine Wertetabelle:
| x | h(x) |
| 0 | \(h\left( {x = 0} \right) = - \dfrac{{5 \cdot {0^2}}}{4} + 2 = 2\) |
| 1 | \(h\left( {x = 1} \right) = - \dfrac{{5 \cdot {1^2}}}{{{4^2}}} + 2 = - \dfrac{5}{{16}} + \dfrac{{32}}{{16}} = \dfrac{{27}}{{16}} = 1,6875\) |
| \(\eqalign{ & 0 = - \dfrac{{5 \cdot {x^2}}}{{16}} + 2 \cr & \dfrac{5}{{16}} \cdot {x^2} = 2 \cr & x = \sqrt {\dfrac{{2 \cdot 16}}{5}} \approx 2,5298 \cr} \) | h(x)=0 |
Wenn wir obige Punkte in die Illustration einzeichnen, dann erhalten wir folgenden Graph der Flugbahn von einem Pellet:
2. Teilaufgabe:
Wir kennen die Gleichung der Wegbahn:
\(h\left( x \right) = - \dfrac{{5 \cdot {x^2}}}{{{v_0}^2}} + 2\)
Das Pellet trifft gerade noch die Matte, wenn seine Bahn durch den Punkt (2 | 1,5) verläuft. Wie setzen diesen x und y Wert ein und machen v0 explizit:
\(\eqalign{ & 1,5 = - \dfrac{{5 \cdot {2^2}}}{{{v_0}^2}} + 2\,\,\,\,\,\left| { - 2} \right. \cr & - 0,5 = - \dfrac{{5 \cdot {2^2}}}{{{v_0}^2}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot {v_0}^2} \right. \cr & - 0,5 \cdot {v_0}^2 = - 20\,\,\,\,\,\left| {: - 0,5} \right. \cr & {v_0}^2 = \dfrac{{20}}{{0,5}} = 40 \cr & {v_0} = \sqrt {40} \approx \pm 6,32 \cr} \)
→ Die gesuchte Einblasgeschwindigkeit beträgt 6,3 m/s
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
Bei einer Einblasgeschwindigkeit von 6,32... m/s trifft das Pellet gerade noch das untere Ende der Schutzmatte.
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
1 × B1: für das richtige Einzeichnen des Graphen der Funktion h
2. Teilaufgabe
1 × B2: für das richtige Bestimmen der Einblasgeschwindigkeit