Aufgabe 4215

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-A Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Standseilbahnen - Aufgabe A_290

Teil a

Die Wägen von Standseilbahnen fahren auf Schienen und können große Steigungen bewältigen. Eine bestimmte Standseilbahn hat eine konstante Steigung von 40 %. Der Streckenverlauf dieser Bahn soll im unten stehenden Koordinatensystem dargestellt werden. Die beiden Achsen des Koordinatensystems haben die gleiche Skalierung. Die Talstation der Bahn liegt im Koordinatenursprung. Nur einer der Punkte A, B, C, D und E kommt als Bergstation der Bahn infrage.

Punkt A A = (10, 4) Punkt A A = (10, 4) Punkt B B = (10, 5) Punkt B B = (10, 5) Punkt C C = (11, 3) Punkt C C = (11, 3) Punkt D D = (12, 4) Punkt D D = (12, 4) Punkt E E = (13, 6) Punkt E E = (13, 6) D Text1 = “D” E Text2 = “E” A Text3 = “A” B Text4 = “B” C Text5 = “C” horizontale Entfernung von der Talstation Text6 = “horizontale Entfernung von der Talstation” Höhenunterschied zur Talstation Text7 = “Höhenunterschied zur Talstation”

  • Aussage 1: A
  • Aussage 2: B
  • Aussage 3: C
  • Aussage 4: D
  • Aussage 5: E

1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Kreuzen Sie denjenigen Punkt an, der als Bergstation infrage kommt.
[1 aus 5] [1 Punkt]

2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie, welchen Höhenunterschied ein Wagen dieser Bahn überwindet, wenn er von der Talstation bis zur Bergstation eine Fahrstrecke von 180 m zurücklegt.
[1 Punkt]

Lösungsweg

1. Teilaufgabe

Für 40% Steigung gehen wir um 10 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach oben und landen so beim Punkt E

\(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{4}{{10}} = 0,4 \buildrel \wedge \over = 40\% \)

Vektor u Vektor u: Vektor(F, G) Vektor u Vektor u: Vektor(F, G) Vektor v Vektor v: Vektor(G, A) Vektor v Vektor v: Vektor(G, A) Vektor w Vektor w: Vektor(F, A) Vektor w Vektor w: Vektor(F, A) Punkt A A = (10, 4) Punkt A A = (10, 4) Punkt B B = (10, 5) Punkt B B = (10, 5) Punkt C C = (11, 3) Punkt C C = (11, 3) Punkt D D = (12, 4) Punkt D D = (12, 4) Punkt E E = (13, 6) Punkt E E = (13, 6) Punkt F Punkt F: Punkt auf yAchse Punkt F Punkt F: Punkt auf yAchse Punkt G Punkt G: Punkt auf xAchse Punkt G Punkt G: Punkt auf xAchse D Text1 = “D” E Text2 = “E” A Text3 = “A” B Text4 = “B” C Text5 = “C” horizontale Entfernung von der Talstation Text6 = “horizontale Entfernung von der Talstation” Höhenunterschied zur Talstation Text7 = “Höhenunterschied zur Talstation”

  • Aussage 1: A - falsch
  • Aussage 2: B - falsch
  • Aussage 3: C - falsch
  • Aussage 4: D - falsch
  • Aussage 5: E - richtig

2. Teilaufgabe:

Zunächst erstellen wir eine Skizze, etwa wie folgt:
Vektor u Vektor u: Vektor(F, G) Vektor u Vektor u: Vektor(F, G) Vektor v Vektor v: Vektor(G, A) Vektor v Vektor v: Vektor(G, A) Vektor w Vektor w: Vektor(F, A) Vektor w Vektor w: Vektor(F, A) Punkt A A = (10, 4) Punkt A A = (10, 4) Punkt F Punkt F: Punkt auf yAchse Punkt F Punkt F: Punkt auf yAchse Punkt G Punkt G: Punkt auf xAchse Punkt G Punkt G: Punkt auf xAchse E Text2 = “E” horizontale Entfernung von der Talstation Text6 = “horizontale Entfernung von der Talstation” Höhenunterschied zur Talstation Text7 = “Höhenunterschied zur Talstation” 180m Text1 = “180m” 100% Text3 = “100%” 40% Text4 = “40%” Gegenkathete Text5 = “Gegenkathete” Ankathete Text8 = “Ankathete”

 

Wir rechnen zuerst den Steigungswinkel aus:
\(\alpha = \arctan \left( {\dfrac{4}{{10}}} \right) = \arctan \left( {0,4} \right) \approx 21,8^\circ \)

 

Die gesuchte Höhe entspricht der Gegenkathete bzw. dem Sinus im rechtwinkeligen Dreieck, dessen Hypotenuse 180 m beträgt:
\(h = 180 \cdot \sin \left( {21,8} \right) \approx 66,85\)

→ Die gesuchte Höhe beträgt ca. 66,85m.

Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.

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Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

1. Teilaufgabe

  • Aussage 1: A - Falsch
  • Aussage 2: B - Falsch
  • Aussage 3: C - Falsch
  • Aussage 4: D - Falsch
  • Aussage 5: E - Richtig

2. Teilaufgabe
Der Wagen überwindet einen Höhenunterschied von rund 66,85 m.

Lösungsschlüssel:

1. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Ankreuzen

2. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Berechnen des Höhenunterschieds