Aufgabe 4313
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-A Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ganzkörperhyperthermie - Aufgabe A_158
Bei einem Therapieverfahren wird die Körpertemperatur bewusst stark erhöht (künstliches Fieber).
Teil a
Die nachfolgende Grafik dokumentiert näherungsweise den Verlauf des künstlichen Fiebers bei einer solchen Behandlung.
Die Funktion f beschreibt den Zusammenhang zwischen Zeit und Körpertemperatur:
\(f\left( t \right) = - 0,18 \cdot {t^3} + 0,85 \cdot {t^2} + 0,6 \cdot t + 36,6\)
- t ... Zeit in Stunden (h) mit 0 ≤ t ≤ 5
- f(t) ... Körpertemperatur zur Zeit t in °C
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur 37 °C beträgt.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Es liegt eine Gleichung 3. Grades vor, die daher 3 Lösungen haben muss. Diese Lösungen erhalten wir, indem wir den Funktionswert 37 in die gegebene Funktionsgleichung einsetzen und die Gleichung mittels Technologieeinsatz nach t lösen:
\(\begin{array}{l} f\left( t \right) = - 0,18 \cdot {t^3} + 0,85 \cdot {t^2} + 0,6 \cdot t + 36,6 = 37\\ - 0,18 \cdot {t^3} + 0,85 \cdot {t^2} + 0,6 \cdot t = 0,4\\ \\ {t_1} = - 0,981415\\ {t_2} = 0,429306\\ {t_3} = 5,27433 \end{array}\)
Die Lösung erfolgt mittels Technologieeinsatz:
Wolfram Alpha: -0.18t^(3)+0.85t^(2)+0.6t=0.4
Zum Zeitpunkt \(t \approx 0,43\,\,h\) beträgt die Körpertemperatur (erstmals) 37°C. Der 2. Zeitpunkt zu t3 ist zwar eine Lösung der Gleichung, ist aber im Graph nicht mehr dargestellt bzw. im lt. Angabe zu betrachtenden Intervall nicht enthalten.
Die nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Zum Zeitpunkt \(t \approx 0,43\,\,h\) beträgt die Körpertemperatur 37°C
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe:
1 × B: für die richtige Berechnung des Zeitpunktes.