Aufgabe 4031
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Leistungsdiagnostik im Sport - Aufgabe B_417
Teil b
Nach Beginn einer körperlichen Belastung beim Sport (Arbeitsphase) passt sich das Atmungssystem nur verzögert dem erhöhten Sauerstoffbedarf an. Erst nach einigen Minuten wird eine ausreichende Versorgung erreicht. Bis dahin kommt es zu einem Sauerstoffdefizit.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Stellen Sie eine Formel auf, mit der man das Sauerstoffdefizit D die mit durchgängiger Begrenzung eingerahmte Fläche in obiger Skizze) berechnen kann, wenn eine Gleichung der Funktion s bekannt ist.
D =
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Geben Sie die Einheit von D an.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir gehen davon aus, die Funktion s=s(t) zu kennen. Weiters wissen wir:
\(\eqalign{ & s\left( {t = {t_1}} \right) = {s_{{\text{Ruhe}}}} \cr & s\left( {t = {t_2}} \right) = {s_{{\text{Arbeit}}}} \cr} \)
Die Fläche vom Rechteck mit der Breite (t2-t1) bzw. der Höhe sArbeit errechnet sich zu:
\(\left( {{t_2} - {t_1}} \right) \cdot {s_{Arbeit}}\)
[svg:grundlage_4031_3.svg]
Beim bestimmten Integral \(\int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {s\left( t \right)\,\,dt} \) errechnet man die Fläche die zwischen dem Graphen der Funktion s(t) und der x-Achse einerseits sowie zwischen der unteren Grenze t1 und der oberen Grenze t2 andererseits liegt.
[svg:grundlage_4041_2.svg]
Wir können das Sauerstoffdefizit nun indirekt ausrechnen, indem wir von der Fläche vom Rechteck die Fläche vom bestimmten Integral subtrahieren
\(D = \left( {{t_2} - {t_1}} \right) \cdot {s_{Arbeit}} - \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {s\left( t \right)\,\,dt} \)
alternativ:
\(D = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\left[ {{s_{Arbeit}} - s\left( t \right)} \right]} \,\,dt\)
2. Teilaufgabe
Ganz allgemein ist die Einheit einer Fläche immer gleich (der Einheit ihrer Länge) mal (der Einheit ihrer Breite) z.B.: \(m \cdot m = {m^2}\)
Anlog ist es mit dieser Fläche: Die Einheit ihrer Breite ist "Minuten" und die Einheit ihrer Höhe ist "Liter pro Minute", somit ist die Einheit von \({\text{D = min}} \cdot \dfrac{L}{{\min }} = L\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(D = \left( {{t_2} - {t_1}} \right) \cdot {s_{Arbeit}} - \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {s\left( t \right)\,\,dt} \)
alternativ:
\(D = \int\limits_{{t_1}}^{{t_2}} {\left[ {{s_{Arbeit}} - s\left( t \right)} \right]} \,\,dt\)
2. Teilaufgabe
Die Einheit von D ist Liter.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A: Für das richtige Aufstellen der Formel zur Berechnung von D (KA)
2. Teilaufgabe
1 × C: Für das richtige Angeben der Einheit von D (KB)