Aufgabe 4087
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Sternbild Großer Wagen - Aufgabe B_014
Teil b
In der nachstehenden Abbildung sind der Große Wagen und der Polarstern P in einem Koordinatensystem dargestellt.
Bild
Die Position des Polarsterns P kann nach folgender Faustregel bestimmt werden: Der Polarstern P liegt auf der Geraden, die durch die Punkte S1 und S2 verläuft. Der Abstand zwischen S2 und P ist das 5-Fache der Länge der Strecke S1S2.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Übertragen Sie die Faustregel mithilfe der Vektorrechnung in einen mathematischen Ausdruck zur Berechnung von P.
[1 Punkt]
Es gilt: S1 = (5,5 | 3,8) und S2 = (5,0 | 4,4)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
- Wir gehen vom Ursprung des Koordinatensystems 0 zum Punkt S2 : \(\overrightarrow {0{S_2}} \)
- und von dort 5 mal die Strecke \(\overrightarrow {{S_1}{S_2}} \)
\(P = \overrightarrow {0{S_{_2}}} + 5 \cdot \overrightarrow {{S_1}{S_2}} \)
2. Teilaufgabe:
Wir setzen die gegebenen Koordinaten in die Vektorgleichung aus der 1. Teilaufgabe wie folgt ein:
\(\begin{array}{l} P = \overrightarrow {0{S_{_2}}} + 5 \cdot \overrightarrow {{S_1}{S_2}} \\ \\ \overrightarrow {0{S_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5,0}\\ {4,4} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5,0}\\ {4,4} \end{array}} \right)\\ \overrightarrow {{S_1}{S_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5,0}\\ {4,4} \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5,5}\\ {3,8} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0,5}\\ {0,6} \end{array}} \right)\\ \\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x}}\\ {{P_y}} \end{array}} \right) = \overrightarrow {0{S_{_2}}} + 5 \cdot \overrightarrow {{S_1}{S_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5,0}\\ {4,4} \end{array}} \right) + 5 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 0,5}\\ {0,6} \end{array}} \right) = \\ = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {5,0}\\ {4,4} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2,5}\\ 3 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2,5}\\ {7,4} \end{array}} \right)\\ \\ P = \left( {2,5\left| {7,4} \right.} \right) \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(P = \overrightarrow {0{S_{_2}}} + 5 \cdot \overrightarrow {{S_1}{S_2}}\)
2. Teilaufgabe:
\(P = \left( {2,5\left| {7,4} \right.} \right)\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A: Für das richtige Übertragen der Faustregel in einen mathematischen Ausdruck (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B: Für die richtige Berechnung der Koordinaten des Punktes P (KB)