Aufgabe 4100

1. Teilaufgabe:

Wir ermitteln die exponentielle Ausgleichsfunktion mittels Technologieeinsatz:

GeoGebra:

• Tabellen + Grafik + Algebra Ansicht aktivieren
• Ansicht → Tabelle → die 8 Datensätze gemäß Angabe eingeben
• alle Datensätze mit Rechteck auswählen → rechte Maustaste → Erzeugen → Liste l1 von Punkten
• Bearbeiten → Eigenschaften → Grundeinstellungen →
  • x-Achse: 0 .. 25 und y-Achse: 0 .. 7 einstellen
  • allenfalls das Koordinatengitter ausblenden
• Eingabe: TrendExp(l1) - wir wählen TrendExp, weil dann die Regressionsfunktion in der Form \(a \cdot {e^{bx}}\) ausgegeben wird.
• Alternativ: TrendExp2(l1) - wir wählen TrendExp2, weil dann die Regressionsfunktion in der Form \(a \cdot {b^x}\)  ausgegeben wird.

Bild

• Algebra-Ansicht: Die Gleichung der Regressionsfunktion ist wie folgt ablesbar:

\(\eqalign{ & {\text{TrendExp(l1): Form: }}a \cdot {e^{bx}}:v\left( t \right) = 9,49466 \cdot {e^{ - 0,14193 \cdot t}} \cr & {\text{TrendExp2(l1): Form: }}a \cdot {b^x}:v\left( t \right) = 9,49 \cdot {0,8677^t} \cr} \)

2. Teilaufgabe:

Wir setzen t=5 in die Regressionsfunktion aus der 1. Teilaufgabe ein:

\(\eqalign{ & v\left( {t = 5} \right) = 9,49 \cdot {0,8677^t} = 9,49 \cdot {0,8677^5} = 4,66 \cr & v\left( {t = 5} \right) = 9,49 \cdot {e^{ - 0,1419 \cdot t}} = 9,49 \cdot {e^{ - 0,1419 \cdot 5}} = 4,66 \cr} \)

→ Nach 5 Sekunden beträgt die Geschwindigkeit des Bootes noch ca. 4,66 m/s.

3. Teilaufgabe:

\(\eqalign{ & s\left( t \right) = \int v \left( t \right)\,\,dt \cr & \cr & v\left( t \right) = 9,49466 \cdot {e^{ - 0,14193 \cdot t}} \cr & s\left( t \right) = 9,49466\int\limits_0^9 {{e^{ - 0,14193 \cdot t}}} \,\,dt = 48,248 \cr} \)

→ Das Boot legt innerhalb der ersten 9 Sekunden einen Weg von ca. 48m zurück.