Aufgabe 4122

1. Teilaufgabe:

Es handelt sich um eine „relative“ oder „prozentuale“ Änderung
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}}\),
da der Wert im Zähler auf den Wert im Nenner „bezogen“ wird.

→ Die Fahrgastzahl der Wiener Linien im Jahr 2011 ist um rund 21 % größer als jene im Jahr 2002.

2. Teilaufgabe:

Die Regressionsgerade ist die bestmögliche Gerade, die man in einem Streudiagramm durch alle Daten legen kann, sodass alle Datenpunkte von der Geraden in Summe den kleinsten Abstand haben.

Wir ermitteln die Regressionsgerade mittels Technologieeinsatz:

Achtung: Gemäß Angabe sollen wir t=0 für das Jahr 2002 verwenden.

Wenn wir das nicht tun würden, sondern die absoluten Jahreszahlen (2002,...) verwenden, dann bleibt die Steigung der Regressionsgerade zwar unverändert (k=17,157), aber der Schnittpunkt mit der y-Achse wäre ein anderer (d=-33.638). Dh. Die Regressionsgerade wäre entlang der y-Achse parallel verschoben.

GeoGebra:

• Tabellen + Grafik + Algebra Ansicht aktivieren
• Ansicht → Tabelle → die 8 Datensätze gemäß Angabe eingeben
• alle Datensätze mit Rechteck auswählen → rechte Maustaste → Erzeugen → Liste von Punkten
• Bearbeiten → Eigenschaften → Grundeinstellungen →
  • x-Achse: 0 .. 9 und y-Achse: 700 .. 900 einstellen
  • allenfalls das Koordinatengitter ausblenden
• Grafik-Ansicht → 4. Icon → Regressionsgerade
• Algebra-Ansicht: Die Gleichung der Regressionsgeraden ist wie folgt ablesbar:

\(f\left( t \right) \approx 17,157 \cdot t + 709,77\)

Bild

3. Teilaufgabe:

Wir ermitteln t in Bezug auf das Bezugsjahr 2002 und setzen dann in die Gleichung der Regressionsgerade ein:

\(\eqalign{ & f\left( t \right) = 17,157 \cdot t + 709,77 \cr & 2018 = {t_0} + t = 2002 + t \to t = 2018 - 2002 = 16 \cr & f\left( {16} \right) = 17,157 \cdot 16 + 709,77 = 984,28 \cr} \)

→ Im Jahr 2018 sind gemäß dem zugrunde liegenden Modell rund 984,3 Millionen Fahrgäste zu erwarten.

(Anmerkung: Tatsächlich geworden sind es 966 Millionen Fahrgäste im Jahr 2018)