Aufgabe 4330
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Boule - Aufgabe B_444
Boule ist eine Sportart, bei der Kugeln geworfen werden. Ziel ist es, mit den eigenen Kugeln möglichst nah an eine Zielkugel zu gelangen.
Teil a
Peter wirft eine Kugel. Die Flugbahn dieser Kugel kann näherungsweise durch den Graphen der Funktion f beschrieben werden (siehe nachstehende Abbildung).
\(f(x) = - 0,0959 \cdot {x^2} + 0,767 \cdot x + 1,1\)
x, f(x) | Koordinaten in m |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 1,1 in der obigen Funktionsgleichung im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wurfweite w.
[1 Punkt]
Peter möchte, dass der Aufprallwinkel α der Kugel im Intervall [42°; 44°] liegt.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Überprüfen Sie mithilfe der Differenzialrechnung, ob der Aufprallwinkel α in diesem Intervall liegt. [1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Bei der gegebenen Gleichung handelt es sich um eine quadratische Gleichung bestehende aus einem quadratischen und einem linearen Term, die beide bei x=0 zu Null werden. Dh bei x=0 bleibt der konstante Term 1,1 über, der somit der Abwurfhöhe entspricht.
→ Die Abwurfhöhe betragt 1,1 m.
2. Teilaufgabe:
Die abc Formel dient zur Lösung von quadratischen Gleichungen, bei denen a, b bzw. c die Koeffizienten vom quadratischen, vom linearen und vom konstanten Glied sind. Damit sie nicht in Vergessenheit gerät, schreiben wir sie an.
\(\eqalign{ & f(x) = - 0,0959 \cdot {x^2} + 0,767 \cdot x + 1,1 \cr & - 0.0959{x^2} + 0.767x + 1.1 = 0 \cr & \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & a = - 0,0959 \cr & b = 0,767 \cr & c = 1,1 \cr} \)
Schneller ist die Lösung jedoch mittels Technologieeinsatz.
Wolfram Alpha: -0.0959x^(2)+0.767x+1.1=0 liefert
\(\eqalign{ & \left( {{x_1} \approx - 1,24146} \right) \cr & {x_2} \approx 9,23937 \cr} \)
→ Die Wurfweite w beträgt rund 9,24 m.
3. Teilaufgabe:
Der Aufprallwinkel entspricht der Steigung der Tangente an den Graph der Funktion an der Stelle y=0, die zugleich der Wurfweite aus der 2. Teilaufgabe entspricht. Um den Aufprallwinkel zu erhalten ermitteln wir den Funktionswert der Ableitungsfunktion an der Stelle x=Wurfweite und bilden davon den arctan.
\(\eqalign{ & f(x) = - 0,0959 \cdot {x^2} + 0,767 \cdot x + 1,1 \cr & f'\left( x \right) = - 0,0959 \cdot 2 \cdot x + 0,767 \cr & f'\left( x \right) = - 0,1918 \cdot x + 0,767 \cr & \cr & f'\left( {x = 9,24} \right) = - 0,1918 \cdot 9,24 + 0,767 = - 1,005232 = k \cr & \cr & k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \tan \alpha \to \alpha = \arctan \left( k \right) \cr & \alpha = \left| {\arctan \left( { - 1,005232} \right)} \right| = 45,15^\circ \cr} \)
→ Der Aufprallwinkel beträgt ca. 45° und liegt daher nicht im Intervall [42°; 44°]
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Die Abwurfhöhe betragt 1,1 m.
2. Teilaufgabe:
Die Wurfweite w beträgt rund 9,24 m.
3. Teilaufgabe:
Der Aufprallwinkel beträgt ca. 45° und liegt daher nicht im Intervall [42°; 44°]
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x C: für die richtige Interpretation der Zahl 1,1 im gegebenen Sachzusammenhang
2. Teilaufgabe:
1 x B: für die richtige Berechnung der Wurfweite w
3. Teilaufgabe:
1 x D: für die richtige Überprüfung mithilfe der Differenzialrechnung