Aufgabe 4337
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bahnsteige - Aufgabe B_446
Teil b
In der nachstehenden Skizze ist eine Holzkonstruktion zur Überdachung eines Bahnsteigs dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Erstellen Sie mithilfe von \(\overline {AE} ,\,\,\overline {AD} {\text{ und }}\alpha \) eine Formel zur Berechnung von \(\overline {DF} \)
[1 Punkt]
Es gilt: A = (0 | 4), B = (0 | 2,8), α = 104° und β = 123°
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Länge BC.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Strecke DF weist in Richtung der negativen y-Achse. Die Strecke AE weist ebenfalls in Richtung der negativen y-Achse, ist aber etwas kürzer als die Stecke DF.
\(\overline {DF} = \overline {AE} + {\text{y - Komponente von }}\overline {AD} \)
Wir betrachten das in der nachfolgenden Illustration eingefärbte rechtwinkelige Dreieck:
Der Winkel Alpha ist etwas größer als 90°, er ist also ein stumpfer Winkel. Ziehen wir vom Winkel Alpha den rechten Winkel mit 90° ab, so bleibt der spitze Winkel \(\alpha - 90^\circ \) im eingefärbten Dreieck über. Von diesem Dreieck ist AD die Hypotenuse und jenes Stück um das wir AE verlängern müssen um auf DF zu kommen ist dann
\(\overline {AD} \cdot \sin \left( {\alpha - 90^\circ } \right) = {\text{y - Komponente von }}\overline {AD} \)
Somit:
\(\overline {DF} = \overline {AE} + \overline {AD} \cdot \sin \left( {\alpha - 90^\circ } \right)\)
2. Teilaufgabe:
Wir betrachten das Dreieck ABC. Es ist definitiv kein rechtwinkeliges Dreieck, dh der Satz des Pythagoras hilft uns nicht weiter.
Mit dem Sinussatz kann man in allgemeinen (also nicht unbedingt rechtwinkeligen) Dreiecken fehlende gegenüber liegende Seiten oder Winkel berechnen. Der Sinussatz wird angewendet, wenn 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel gegeben sind, wobei die beiden gegebenen Seiten den gegebenen Winkel nicht einschließen dürfen.
Wir kennen 1 Seite (AB) und den Winkel \(\alpha = 104^\circ \)
Die Summe der Innenwinkel in jedem Dreieck ist 180°.
- Der Innenwinkel im Punkt B ist der Supplementärwinkel zu \(\beta {\text{ }} = {\text{ }}123^\circ \to \beta ' = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ \)
- Der Innenwinkel im Punkt C ergibt sich zu \(\gamma = 180 - \alpha - \beta ' = 180 - 104^\circ - 57^\circ = 19^\circ\)
Somit haben wir 1 Seite und 2 Winkel und können in den Sinussatz einsetzen:
\(\eqalign{ & \dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin \beta }} = \dfrac{c}{{\sin \gamma }} \cr & \cr} \)
Wichtig: Die Beschriftung ist so zu wählen, dass jeweils die Seiten a, b und c den Winkeln α, β und γ gegenüber liegen.
\(\eqalign{ & \dfrac{{\overline {AB} }}{{\sin \left( {19^\circ } \right)}} = \dfrac{{\overline {BC} }}{{\sin \left( {104^\circ } \right)}} \cr & \overline {BC} = \dfrac{{\left( {4 - 2.8} \right)}}{{\sin \left( {19^\circ } \right)}} \cdot \sin \left( {104^\circ } \right) \approx 3,576 \cr} \)
→ Die gesuchte Länge BC beträgt ca. 3,6 m.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(\overline {DF} = \overline {AE} + \overline {AD} \cdot \sin \left( {\alpha - 90^\circ } \right)\)
2. Teilaufgabe:
Die gesuchte Länge BC beträgt ca. 3,6 m.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x A: für das richtige Erstellen der Formel
2. Teilaufgabe:
1 x B: für die richtige Berechnung der Länge BC