Aufgabe 4339
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wein - Aufgabe B_447
Teil a
Durch die alkoholische Gärung von Traubensaft entsteht Wein. Dabei wird mithilfe von Hefepilzen der Zucker, der sich im Traubensaft befindet, in Alkohol umgewandelt. Ein Winzer misst während eines Gärungsprozesses täglich den Alkoholgehalt und erhält folgende Tabelle:
| Zeit seit Beginn der Gärungsprozesses in Tagen | Alkoholgehalt in % |
| 1 | 0,7 |
| 2 | 1,4 |
| 3 | 2,3 |
| 4 | 3,6 |
| 5 | 5,2 |
| 6 | 7,3 |
| 7 | 9,7 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Interpretieren Sie die Bedeutung des Ausdrucks
\(\dfrac{{3,6 - 1,4}}{{4 - 2}}\)
im gegebenen Sachzusammenhang.
[1 Punkt]
Der Alkoholgehalt soll in Abhängigkeit von der Zeit t seit Beginn des Gärungsprozesses durch eine quadratische Ausgleichsfunktion angenähert werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie eine Gleichung der quadratischen Ausgleichsfunktion.
[1 Punkt]
Der Zuckergehalt während des Gärungsprozesses kann für die ersten 8 Tage näherungsweise mithilfe der Funktion z beschrieben werden:
\(z\left( t \right) = 0,25 \cdot {t^2} - 4,1 \cdot t + 17{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 8\)
| t | Zeit seit Beginn des Gärungsprozesses in Tagen |
| z(t) |
Zuckergehalt zur Zeit t in % |
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie den Zuckergehalt bei einem Alkoholgehalt von 11 %. [1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Ausdruck ist die mittlere Änderungsrate des Alkoholgehalts im Zeitintervall [2; 4].
2. Teilaufgabe:
GeoGebra:
- Tabellen + Grafik + Algebra Ansicht aktivieren
- Ansicht → Tabelle → die 6 Datensätze gemäß Angabe eingeben, die Felder markieren, rechte Maustaste - Erzeugen - Liste von Punkten
- TrendPoly( <Liste von Punkten>, <Grad des Polynoms> )
- Eingabe in Command line: TrendPoly(l1,2)
- Liste von Punkten = l1
- Grad des Polynoms lt. Angabe quadratisch = 2
\(a\left( t \right) = 0,18 \cdot {t^2} + 0,05 \cdot t + 0,51\)
Bild
3. Teilaufgabe:
- Alkoholgehalt: \(a\left( t \right) = 0,18 \cdot {t^2} + 0,05 \cdot t + 0,51\) .. Aus 2. Teilaufgabe
- Zuckergehalt: \(z\left( t \right) = 0,25 \cdot {t^2} - 4,1 \cdot t + 17{\text{ mit }}0 \leqslant t \leqslant 8\)
Im 1. Schritt berechnen wir die Zeit t, die seit Beginn des Gärungsprozesses vergehen muss, damit der Alkoholgehalt 11% beträgt:
\(\eqalign{ & a\left( t \right) = 0,18 \cdot {t^2} + 0,05 \cdot t + 0,51 \cr & 0.18 \cdot {t^2} + 0.05 \cdot t + 0.51 = 11 \cr & \cr & {t_1} = 7,49636 \cr & \left( {{t_2} = - 7,77414} \right) \cr} \)
Es müssen 7,49 Tage vergehen, damit der Alkoholgehalt 11% beträgt.
Im 2. Schritt berechnen wir den Zuckergehalt nach 7,49 Tagen wie folgt:
\(\eqalign{ & z\left( t \right) = 0,25 \cdot {t^2} - 4,1 \cdot t + 17 \cr & z(t = 7,49) = 0,25 \cdot {7,49^2} - 4,1 \cdot 7,49 + 17 = 0,316 \cr} \)
→ Der Zuckergehalt beträgt rund 0,3 %.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der Ausdruck ist die mittlere Änderungsrate des Alkoholgehalts im Zeitintervall [2; 4].
2. Teilaufgabe:
\(a\left( t \right) = 0,18 \cdot {t^2} + 0,05 \cdot t + 0,51\)
3. Teilaufgabe:
Der Zuckergehalt beträgt rund 0,3 %.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 x C: für die richtige Interpretation im gegebenen Sachzusammenhang
2. Teilaufgabe:
1 x B1: für das richtige Ermitteln der Gleichung der quadratischen Ausgleichsfunktion
3. Teilaufgabe:
1 x B2: für die richtige Berechnung des Zuckergehalts