Aufgabe 4390

1. Teilaufgabe:

Gerade Funktionen sind symmetrisch zur y-Achse. Spiegelt man die Funktionswerte mit positivem x um die y-Achse, so erhält man die Funktionswerte mit negativem x:
\(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\)

Wir prüfen ob obige Bedingung für gerade Funktionen erfüllt ist:
\(\begin{array}{l} f(x) = \dfrac{{37}}{{{{19}^6}}} \cdot {x^6} + 3\\ f\left( {x \to - x} \right) = \dfrac{{37}}{{{{19}^6}}} \cdot {\left( { - x} \right)^6} + 3 = \\ \\ {\left( { - x} \right)^6} = {x^6}\\ \\ = \dfrac{{37}}{{{{19}^6}}} \cdot {x^6} + 3\\ \to f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\,\,\,{\rm{wzbw}} \end{array}\)

→ Die Funktion f ist gerade, weil f eine Polynomfunktion ist, in der die einzige auftretende Potenz von x einen geradzahligen Exponenten hat.

2. Teilaufgabe:

Es sei y=f(x) eine über dem Intervall [a,b] stetige Funktion. Dann ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Funktion um die y-Achse entsteht, V_y.
\({V_y} = \pi \cdot \int\limits_{y = c}^d {{{\left[ {x\left( y \right)} \right]}^2}} \,\,\,dy\)

Da jedoch f(x) gegeben ist, müssen wir die gegebene Funktionsgleichung so umformen, dass wir x(y)² explizit wird:
\(\begin{array}{l} y = \dfrac{{37}}{{{{19}^6}}} \cdot {x^6} + 3{\rm{ }}\left| { - 3\,\,\,\,\,\left| { \cdot \dfrac{{{{19}^6}}}{{37}}} \right.} \right.\\ \left( {y - 3} \right) \cdot \dfrac{{{{19}^6}}}{{37}} = {x^6}\,\,\,\,\,\left| {\sqrt[3]{{}}} \right.\\ x{\left( y \right)^2} = \sqrt[3]{{\dfrac{{{{19}^6} \cdot \left( {y - 3} \right)}}{{37}}}} \end{array}\)

Nun benötigen wir noch die Integrationsgrenzen \(\left[ {c \le y \le d} \right]\), da wir über y integrieren. Während wir die oberen Grenze y=d direkt aus der Illustration ablesen können, müssen wir die untere Grenze y=d berechnen. Sie liegt an der Stelle x=0:
\(\begin{array}{l} y = c = f\left( {x = 0} \right) = \dfrac{{37}}{{{{19}^6}}} \cdot {0^6} + 3 = 3\\ y = d = 40 \end{array}\)

Da wir nun x(y)² samt der auf der y-Achse liegenden zugehörigen Integrationsgrenzen kennen, können wir das gesuchte Volumsintegral wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} {V_y} = \pi \cdot \int\limits_{y = c}^d {{{\left[ {x\left( y \right)} \right]}^2}} \,\,\,dy\\ {V_y} = \pi \cdot \int\limits_{y = 3}^{40} {\sqrt[3]{{\dfrac{{{{19}^6} \cdot \left( {y - 3} \right)}}{{37}}}}} \,\,dy \approx 31472 \end{array}\)

Lösung mittels Technologieeinsatz:

Wolfram Alpha: pi*Integrate[((19^(6)(y-3))/(37))^(1/(3)),y=3,40]

Geogebra: CAS-Ansicht

• Zuerst definiert man den Integranden. Achtung: x(y) wird nicht akzeptiert, daher nennen wir die Funktion g(x). Statt der dritten-Wurzel schreibt man gleichwertig „hoch 1/3“.
• Danach berechnet man das Volumsintegral numerisch.

Bild

→ Das Innenvolumen des Blumentopfs beträgt 31472 cm³ bzw. 31,472 dm³.

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