Aufgabe 4401
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Bitterfelder Bogen - Aufgabe B_477
Der Bitterfelder Bogen ist eine Stahlkonstruktion, die aus mehreren Bögen besteht. Ein aus Rampen bestehender Fußweg führt innerhalb der Bögen zu einer Aussichtsplattform.
Teil c
Der Fußweg zur Aussichtsplattform besteht aus einzelnen Rampen (siehe strichlierte Geradenstücke in der nachstehenden modellhaften Abbildung).
Es gilt:
\(A = \left( { - 45|0} \right),\,\,\,\,\,\overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {78} \\ {4,2} \end{array}} \right)\)
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B.
[1 Punkt]
Die Neigungswinkel der Rampen sind jeweils gleich groß. Es soll eine Parameterdarstellung der Geraden g durch die Punkte B und C erstellt werden.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Tragen Sie die fehlenden Zahlen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein.
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} ? \\ ? \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} ? \\ ? \end{array}} \right)\)
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Append Regel kommt dann zur Anwendung, wenn von einem Anfangspunkt ausgehend ein Vektor hinzugefügt (to append) werden soll und die Koordinaten vom Endpunkt des Vektors gesucht sind.
\(Q = P + \overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_x} + {v_x}}\\ {{P_y} + {v_y}} \end{array}} \right)\)
Somit:
\(B = A + \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 45}\\ 0 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {78}\\ {4,2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {33}\\ {4,2} \end{array}} \right)\)
→ Die Koordinaten des Punkts B lauten: (33|4,2)
2. Teilaufgabe:
Bei der Parameterform der Geraden benötigt man einen beliebigen Punkt, den "Aufpunkt" auf der Geraden und den Richtungsvektor \(\overrightarrow r \) . Mit Hilfe dieser beiden Bestimmungsgrößen kann eine Gerade in der Ebene und im Raum eindeutig festgelegt werden.
Die Koordinaten vom Aufpunkt den wir benötigen kennen wir bereits, es ist der Punkt B.
Die Steigung vom Vektor \(\overrightarrow {BC} \) bzw. vom gesuchten Richtungsvektor kennen wir ebenfalls: Sie entspricht der Steigung vom Vektor \(\overrightarrow {AB} \). Während Vektor \(\overrightarrow {AB} \) aber in Richtung der positiven x-Achse weist, muss der gesuchte Richtungsvektor bei gleicher Steigung in Richtung der negativen y-Achse weisen. Für den Richtungsvektor gilt somit, dass er die gleiche y-Koordinate bei entgegengesetzter x-Koordinate haben muss:
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {{r_x}} = - \overrightarrow {A{B_x}} \\ \overrightarrow {{r_y}} = \overrightarrow {A{B_y}} \\ \\ \overrightarrow {AB} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {78}\\ {4,2} \end{array}} \right) \to \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 78}\\ {4,2} \end{array}} \right) \end{array}\)
Somit können wir die Parameterdarstellung der Geraden g angeben:
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {33}\\ {4,2} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 78}\\ {4,2} \end{array}} \right)\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Koordinaten des Punkts B lauten: (33|4,2)
2. Teilaufgabe
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {33}\\ {4,2} \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 78}\\ {4,2} \end{array}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × B: für das richtige Berechnen der Koordinaten des Punktes B
2. Teilaufgabe
1 × A: für das richtige Eintragen der fehlenden Zahlen