Aufgabe 4403
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 28. Mai 2020 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Limnologie - Aufgabe B_478
Die Limnologie erforscht wichtige Kenngrößen von stehenden Gewässern wie etwa Temperatur oder Dichte.
Teil a
Die nachstehende Abbildung zeigt modellhaft die Wassertemperatur eines Sees in Abhängigkeit von der Tiefe x im Frühling (TF) und im Winter (TW). Die Wassertemperatur nähert sich in beiden Fällen asymptotisch dem Wert 4 °C.
Die Wassertemperatur des Sees im Frühling kann in Abhängigkeit von der Tiefe x näherungsweise durch eine Exponentialfunktion
\({T_F}{\text{ mit }}{T_F}\left( x \right) = a + b \cdot {e^{c \cdot x}}\)
beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Ermitteln Sie mithilfe der obigen Abbildung die Parameter a, b und c der Funktion TF.
[2 Punkte]
Für ein bestimmtes x1 gilt:
\({T_F}\left( {{x_1}} \right) - {T_W}\left( {{x_1}} \right) = 5\)
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie x1 mithilfe der obigen Abbildung.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Wassertemperatur im Frühling entspricht einer beschränkten exponentiellen Abnahme und im Winter einer beschränkten exponentiellen Zunahme.
Die Formel für die exponentielle beschränkte Abnahme lautet gemäß Formelsammlung:
\(\begin{array}{l} N\left( t \right) = S + a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\\ a = \left| {S - {N_0}} \right| \end{array}\)
mit:
- S .. Sättigungswert
- N0 … Startwert
Aus der Illustration können wir wie folgt entnehmen:
- N0=10
- S=4
- a=|4-10|=6
Den noch fehlenden Wert für Lambda bestimmen wir, indem wir ein Wertepaar in die Funktionsgleichung einsetzen. Dazu bietet sich die Temperatur von 7°C bei der Tiefe von x=6m an:
\(\begin{array}{l} N\left( t \right) = S + a \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}}\\ 7 = 4 + 6{e^{ - \lambda 6}}\,\,\,\,\,\left| { - 4} \right.\,\,\,\,\left| {:6} \right.\\ 0,5 = {e^{ - \lambda 6}}\,\,\,\,\left| {\ln } \right.\\ - 6\lambda = \ln \left( {0,5} \right)\\ \lambda = - \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{6} = 0,115525 \end{array}\)
Die exponentielle beschränkte Abnahme lautet somit:
\(N\left( t \right) = 4 + 6 \cdot {e^{ - 0,115525 \cdot t}}\)
→ Gemäß Angabe gilt \({T_F}{\rm{ mit }}{T_F}\left( x \right) = a + b \cdot {e^{c \cdot x}}\) somit: a=4; b=6; c=-0,115525;
2. Teilaufgabe:
Wir müssen jene Tiefe x finden, bei welcher der Temperaturunterschied zwischen Frühling und Winter 5°C beträgt. Das ist bei einer Tiefe von x=6 Metern der Fall.
→ An der Stelle x = 6 ergibt sich eine Temperaturdifferenz von 5 °C.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
a=4; b=6; c=-0,115525;
2. Teilaufgabe
An der Stelle x = 6 ergibt sich eine Temperaturdifferenz von 5 °C.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
1 × A1: für das richtige Ermitteln der Parameter a und b
1 × B: für das richtige Ermitteln des Parameters c
2. Teilaufgabe
1 × A2: für das richtige Ermitteln von x1 (Toleranzbereich: [5,9; 6,1])