Aufgabe 4440
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Olympische Sommerspiele 2008 in Peking - Aufgabe B_508
Teil c
Bei den Olympischen Sommerspielen 2008 in Peking siegte Tirunesh Dibaba im Finale des 10 000-Meter-Laufes der Frauen. In der nachstehenden Tabelle sind einige Distanzen und die zugehörigen Zwischenzeiten für die erste Hälfte des Laufes angegeben.
Distanz in m | 1.000 | 2.000 | 3.000 | 4.000 | 5.000 |
Zeit in s | 180,5 | 360,2 | 543,8 | 726,6 | 910,0 |
Datenquelle: https://sportsscientists.com/2008/08/beijng-2008-10000-m-women/ [15.12.2020].
Die Zeit soll in Abhängigkeit von der Distanz durch eine lineare Regressionsfunktion beschrieben werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie mithilfe der Regressionsrechnung eine Gleichung dieser linearen Funktion.
[0 / 1 P.]
Tirunesh Dibaba benötigte für diesen 10 000-Meter-Lauf insgesamt 29 min 54,66 s.
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Betrag des relativen Fehlers, wenn zur Berechnung der Laufzeit von Tirunesh Dibaba die ermittelte Regressionsfunktion verwendet wird.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
GeoGebra:
- Tabellen + Grafik + Algebra Ansicht aktivieren
- Ansicht → Tabelle → die 5 Datensätze gemäß Angabe eingeben
- alle Datensätze mit Rechteck auswählen → rechte Maustaste → Erzeugen → Liste von Punkten
- Bearbeiten → Eigenschaften → Grundeinstellungen →
- x-Achse: 1000 .. 5000 und y-Achse: 180 .. 910 einstellen
- allenfalls das Koordinatengitter ausblenden
- Grafik-Ansicht → 4. Icon → Regressionsgerade
- Algebra-Ansicht: Die Gleichung der Regressionsgeraden ist wie folgt ablesbar:
y=0,1825⋅x−3,4
Die Gleichung der linearen Ausgleichsfunktion kann mittels Technologieeinsatz wie folgt bestimmt werden: f(x)=0,1825⋅x−3,4
Wobei:
- x ... Distanz in m
- f(x) ... Zeit bei der Distanz x in s
2. Teilaufgabe:
Wir setzen in die in der 1. Teilaufgabe ermittelte Regressionsfunktion wie folgt ein und erhalten die genäherte Laufzeit:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = 0,1825 \cdot x - 3,4\\ f\left( {x = 10000} \right) = 1825 - 3,4 = 1821,6 \end{array}\)
Nun rechnen wir die tatsächliche Laufzeit in Sekunden um:
\(29 \cdot 60 + 54,66 = 1794,66\)
Der relative Fehler entspricht dem absoluten Fehler „bezogen auf den“ oder „relativ zum“ Grundwert. Er errechnet sich als der Quotient aus dem absoluten Fehler und dem Grundwert. Als Grundwert nehmen wir die korrekte, tatsächlich gemessene Laufzeit, denn wir wollen ja eine Aussage über den Fehler in Bezug auf die korrekte Laufzeit.
\(\dfrac{{1821,6 - 1794,66}}{{1794,66}} \approx 0,0150 \buildrel \wedge \over = 1,5\% \)
→ Der relative Fehler beträgt ca. 1,5%
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Die Gleichung der Regressionsgeraden lautet: f(x)=0,1825⋅x−3,4
2. Teilaufgabe
Der relative Fehler beträgt ca. 1,5%
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Gleichung der linearen Regressionsfunktion.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des Betrags des relativen Fehlers.