Aufgabe 4454

1. Teilaufgabe:

Wir setzen gemäß der Angabe 
\({K_2}\left( {x = 100} \right) = 35\,000\)

wie folgt in die gegebene Kostenfunktion ein und machen a explizit:
\(\begin{array}{l} {K_2}\left( x \right) = 0,001 \cdot {x^3} - 0,9 \cdot {x^2} + a \cdot x + 3000\\ {K_2}\left( {x = 100} \right) = 0,001 \cdot {100^3} - 0,9 \cdot {100^2} + a \cdot 100 + 3000 = 35000\,\,\,\,\,\left| { - 3000} \right.\\ 1000 - 9000 + 100 \cdot a = 32000\,\,\,\,\,\left| { + 8000} \right.\\ 100 \cdot a = 40000\,\,\,\,\,\left| {:100} \right.\\ a = 400 \end{array}\)

2. Teilaufgabe:

Das Betriebsoptimum ist zugleich die langfristige Preisuntergrenze. Es liegt bei jener Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten minimal sind bzw die Durchschnittskostenfunktion ihr Minimum hat. Das Betriebsoptimum errechnet sich durch Nullsetzen der 1. Ableitung der Stückkostenfunktion. Es gilt folgender Zusammenhang:
\(\begin{array}{l} \overline K \left( x \right) = \dfrac{{K\left( x \right)}}{x}\\ \overline {K'} \left( {{x_{opt}}} \right) = 0 \end{array}\)

Somit:
\(\begin{array}{l} {K_2}\left( x \right) = 0,001 \cdot {x^3} - 0,9 \cdot {x^2} + 400 \cdot x + 3000\\ \overline {{K_2}} \left( x \right) = 0,001 \cdot {x^2} - 0,9 \cdot x + 400 + 3000 \cdot {x^{ - 1}}\\ {\overline {{K_2}} ^\prime }\left( x \right) = 2 \cdot 0,001 \cdot x - 0,9 - 3000{x^{ - 2}}\\ \\ 0,002 \cdot x - 0,9 - 3000 \cdot {x^{ - 2}} = 0\\ x \approx 457,177 \end{array}\)

Lediglich die Lösung der Gleichung erfolgt mittels Technologieeinsatz:
Wolfram Alpha: 0.002x-0.9-3000x^(-2)=0

→ Das Betriebsoptimum liegt bei einer Produktion von rund 457 Kommoden.

3. Teilaufgabe:

Den Break-Even-Point ermittelt man, in dem man:

• die 1. Nullstelle der Gewinnfunktion ermittelt.
• als den 1. Schnittpunkt aus Erlös- und Kostenfunktion

Die Gewinn- und die Erlösfunktion kennen wir nicht. Die Kostenfunktion kennen wir und am 1. Schnittpunkt aus Erlös- und Kostenfunktion muss gelten:
\(\begin{array}{l} K\left( {x = 60} \right) = E\left( {x = 60} \right)\\ \\ {K_2}\left( x \right) = 0,001 \cdot {x^3} - 0,9 \cdot {x^2} + 400 \cdot x + 3000\\ {K_2}\left( {x = 60} \right) = 0,001 \cdot {60^3} - 0,9 \cdot {60^2} + 400 \cdot 60 + 3000\\ {K_2}\left( {x = 60} \right) = 23\,976 = E\left( {x = 60} \right)\\ \\ p\left( {x = 1} \right) = \dfrac{{E\left( {x = 60} \right)}}{{60}} = \dfrac{{23\,976}}{{60}} = 399,6\\ \end{array}\)

→ Der Preis im Break-even-Point beträgt 399,60 GE pro Kommode.

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