Aufgabe 4467
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Handyproduktion - Aufgabe B_517
Teil d:
Die häufigsten Fehler, die bei den Handymodellen H1 und H2 auftreten, sind Displayfehler und Akkufehler. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen diese beiden Fehler auftreten, sind in der nachstehenden Vierfeldertafel dargestellt.
Displayfehler | kein Displayfehler | Summe | |
Akkufehler | 0,01 | 0,02 | 0,03 |
kein Akkufehler | 0,01 | 0,96 | 0,97 |
Summe | 0,02 | 0,98 | 1,00 |
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Beschreiben Sie ein Ereignis im gegebenen Sachzusammenhang, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem nachstehenden Ausdruck berechnet wird.
\(1 - 0,96 = 0,04\)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Überprüfen Sie nachweislich, ob die beiden Ereignisse „Displayfehler“ und „Akkufehler“ voneinander unabhängig sind.
[0 / 1 P.]
Bei einem Handy ist ein Displayfehler aufgetreten.
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter dieser Bedingung auch ein Akkufehler auftritt.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
0,96 ist gemäß Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Handy weder einen Displayfehler noch einen Akkufehler aufweist, dh vollständig in Ordnung ist.
Da aber "1 minus dieser Wahrscheinlichkeit" betrachtet wird, müssen wir die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden:
- Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass das Handy den einen oder den anderen oder sogar beide Fehler aufweist.
- Einfacher gesagt: Dass das Handy mindestens einen Fehler aufweist.
→ Es handelt sich um die Wahrscheinlichkeit, das mindestens einer der Fehler auftritt.
2. Teilaufgabe:
Sollten A und B unabhängige Ereignisse sein, dann gilt: Die Wahrscheinlichkeit, dass unabhängig voneinander das Ereignis A und auch das Ereignis B eintreten, ist gleich dem Produkt der beiden Einzelwahrscheinlichkeiten.
\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( B \right)\)
Wir setzen A für Akkufehler und D für Displayfehler und lesen die 3 Werte in der Vierfeldertafel wie folgt ab:
\(\begin{array}{l} P\left( {A \cap D} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( D \right)\\ 0,01 \ne 0,03 \cdot 0,02 = 0,0006 \end{array}\)
→ Die beiden Ereignisse „Displayfehler“ und „Akkufehler“ sind nicht voneinander unabhängig.
3. Teilaufgabe:
Für die Lösung dieser Aufgabenstellung benötigen wir den Satz von Bayes. Dabei handelt es sich um eine Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung, dass A schon eingetreten ist.
\(P\left( {B|A} \right) = \dfrac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)
Wir setzen A für Akkufehler und D für Displayfehler und lesen die 3 Werte in der Vierfeldertafel wie folgt ab:
\(P\left( {A|D} \right) = \dfrac{{P\left( {A \cap D} \right)}}{{P\left( D \right)}} = \dfrac{{0,01}}{{0,02}} = \dfrac{1}{2} = 0,5 \buildrel \wedge \over = 50\% \)
→ Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Akkufehler auftritt nachdem bereits ein Displayfehler aufgetreten ist, beträgt 50 %.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Es handelt sich um die Wahrscheinlichkeit, das mindestens einer der Fehler auftritt.
2. Teilaufgabe
Die beiden Ereignisse „Displayfehler“ und „Akkufehler“ sind nicht voneinander unabhängig.
3. Teilaufgabe
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Akkufehler auftritt nachdem bereits ein Displayfehler aufgetreten ist, beträgt 50 %.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Beschreiben im gegebenen Sachzusammenhang.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige nachweisliche Überprüfen.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der bedingten Wahrscheinlichkeit.